WisFaq!

Re: Arctan

Met de driehoek ben ik het volledig met je eens. Maar het moest nu juist met de formule, kan het dan ook?

jan
7-11-2012

Antwoord

Het kan mooi via de afgeleide functies.
Je zult inmiddels weten dat de afgeleide van f(x) = arctan(x) gegeven wordt door f'(x) = 1/(1+x²).
Wanneer je nu de functie g(x) = arctan(1/x) differentieert, dan zul je ontdekken (vooral wanneer je de kettingregel niet vergeet!) dat je precies het tegengestelde vindt, dus g'(x) = -1/(1+x²).
De optelsom van de afgeleiden is dus gelijk aan nul, hetgeen betekent dat de som van de functies een constante moet zijn.
Uit arctan(x) + arctan(1/x) = c vind je door bijv. x = 1 in te vullen dat
c = ¹/₂p.

Als je nog eens kijkt naar hetgeen je zelf als bewijs had gekozen, dan kom je er ook nog wel uit.
Je schreef: tan(arctan(x) + arctan(1/x)) bestaat niet omdat dan de noemer
1-x/x = 0 voorkomt en een noemer 0 kan niet.
Het feit dat de tangens niet bestaat, houdt (bij x0) in dat hetgeen 'achter de tangens' staat gelijk is aan ¹/₂p. Voor x0 treedt het op bij -¹/₂p.

MBL
12-11-2012