WisFaq!

Vergelijkingen oplossen en hoeken

hallo
Ik heb morgen test van complexe getallen en tijdens het studeren stootte ik op een paar problemen. Kunnen jullie me helpen? Bedankt!

Los de volgende vgl op: z⁴+1=0 (in C)
Los op in C: z⁴-3z²+4=0
Bereken cos72°en sin72° zonder rekenmachine...

kirsten
22-1-2003

Antwoord

Dag Kirsten,
1. z4 = 1. Dit betekent dat z² = 1 of -1, dus z = 1 of -1 (dit zijn de wortels uit 1) of z = i of -i (dit zijn de wortels uit -1).

2. z4 - 3z² +4 = 0. Voer hier de hulpvariabele y = z² in, dan komt er y² - 3y + 4 = 0. Dit is een eenvoudige vierkantsvergelijking met als discriminant de wortel uit 9-16 is i7. Dus y = (3±iÖ7)/2. Uit deze twee waarden van y moet je dan de wortel trekken om z te bekomen, dit gebeurt in een stelsel waarin je z=a+bi stelt (dat zal waarschijnlijk wel een standaardoefening zijn, het berekenen van de wortel van een complex getal). Vermits y = z² moet dan reëel deel van y = reëel deel van z² = a² - b², en complex deel van y = complex deel van z² = 2ab. Dit levert voor elke y twee oplossingen, en er zijn twee waarden voor y, dus komen er vier oplossingen wat logisch is want dit is een vierdegraadsvergelijking.

3. cos en sin van 72°... 72 = 360/5. Dus als je de vijfdemachtswortels van 1 op de goniometrische cirkel bekijkt, komen die getallen daarin voor. Als je de wortels bekijkt in tegenwijzerzin, heb je eerst de 1 (helemaal rechts dus), dan (cos72+isin72), dan (cos144+isin144), dan (cos216+isin216), dan (cos288+isin288).
Een eigenschap van (cos72+isin72) is nu dat dit tot de vijfdemacht gelijk is aan 1. Werk dit uit, dan geeft dit cos^5 + 5icos^4sin - 10cos³sin² - 10icos²sin³ + 5cossin^4 + isin^5. Dit is gelijk aan 1 = 1 + 0i, dus 5cos^4sin - 10cos²sin³ + sin^5 = 0 (dit is de vergelijking voor het complexe deel). Vervang hierin cos² door 1 - sin², en je bekomt een vergelijking van de vierde graad in sin (want je kan een factor sin (¹0)wegdelen). Stel u = sin², dan is het een kwadratische vergelijking. Dit geeft je twee oplossingen voor u, en sin is dan nog eens de vierkantswortel (+ of -) daarvan, dus dat geeft vier oplossingen (dit zijn natuurlijk de sinussen van 72, 144, 216 en 288, en de sinus van nul, nul dus, is weggedeeld). Dan moet je enkel nog de goeie waarde kiezen, dat kan niet zo moeilijk zijn want er zullen twee negatieve waarden tussen zitten en twee positieve, kies de grootste van die twee positieve want sin72 > sin144, dat zie je op de goniometrische cirkel. cos72 is dan natuurlijk gewoon de wortel uit 1-sin².

Ik hoop dat je kon volgen en dat de oefeningen lukken. Succes met je test,

Christophe.

Christophe
22-1-2003