WisFaq!

Bewijs van gelijkheden

hallo,

ik heb een klein probleempje met een wiskundeoefening waarbij we de volgende gelijkheid moeten bewijzen met behulp van dubbele hoek-formules, grondformules, goniometrische getallen, ...

(1+sin(x))/(1-sin(x))=tg²(p/4+x/2)

alvast bedankt voor de hulp,
leon

Leon
22-1-2003

Antwoord

Hoi,

Je wil bewijzen dat (1+sin(x))/(1-sin(x))=tg²(p/4+x/2).

We nemen t=tg(x/2).

Je kent/rekent na dat sin(x)=2t/(1+t²), zodat
(1+sin(x))/(1-sin(x))=
(1+2t/(1+t²))/(1-2t/(1+t²))=
(1+t²+2t)/(1+t²-2t)=
(1+t)²/(1-t)²

We vereenvoudigen:
tg(p/4+x/2)=
sin(p/4+x/2)/cos(p/4+x/2)=
(sin(p/4).cos(x/2)+cos(p/4).sin(x/2))/(cos(p/4).cos(x/2)-sin(p/4).sin(x/2))

Bemerk dat sin(p/4)=cos(p/4)=2/2, zodat:
tg(p/4+x/2)=
(cos(x/2)+sin(x/2))/(cos(x/2)-sin(x/2))=
(1+sin(x/2)/cos(x/2))/(1-sin(x/2)/cos(x/2))=
(1+t)/(1-t)

Besluit:
(1+sin(x))/(1-sin(x))=tg²(p/4+x/2)=(1+t)²/(1-t)²

Groetjes,
Johan

andros
22-1-2003