WisFaq!

Toepassing op loodrechte rechten

Goede dag,
In een driehoek ABC trekt men de hoogtelijnen AD en BE.
(D$\in$BC en E$\in$AC) Het midden M van AB wordt met het midden N van DE verbonden. Bewijs analytisch dat MN^DE staat.
Ik heb al wat uitgeprobeerd maar zit verstrikt in rekenwerk.
Ik denk dat er een mogelijkheid moet bestaan in een (x-y) assenstelsel passende coördinaten in te voeren, die het rekenwerk vergemakkelijken. Ik had AD al als hoogtelijn op de Y as gebruikt zodat deze D(0,0) was .A(0,a); D(0,0);
B(-b,0) en C(b,0) (dus 2 gelijke lijnstukken genomen links en rechts van de oorsprong op de x-as...)
Ik heb AB en CE als rechten uitgerekend en dan E bepaald uit : AB$\cap$ CE = punt ( E)kom ik met een vrij ingewikkelde coördinaat uit voor E en wordt het punt N op DE ook vrij ingewikkeld. Voor M heb ik dan (b/2;a/2)..
Ik denk zelfs dat ik voor een willekeurige driehoek ABC zelfs niet mag opteren vooor punt B(-b,0) en voor C (+b,0 )
Kan iemand mij wat gunstiger coördinaten geven ,liefst weergegeven op een figuur aub.Dan kan ik verder met mijn berekeningen. Hoepelijk toch!
Het is toch de bedoeling met zo eenvoudig mogelijk rekenwerk te kunnen aantonen dat de rico van DE en MN ^staan en dit te kunnen vinden met de formule : m'·m'=-1 met m' de rico van DE en m' de rico van MN.....
Een lange vraag en misschien wel een kort antwoord met uitleg die alles kan verduidelijken....?
Groeten,
Rik

Rik Lemmens
16-10-2012

Antwoord

In een rechthoekige driehoek is de zwaartelijn uit de rechte hoek gelijk aan de helft van de schuine zijde.
In driehoek ADB is dan DM = ¹/₂AB.
Idem: in driehoek AEB is EM = ¹/₂AB.
Dus EM = DM ofwel driehoek DEM is gelijkbenig.
Daarom is zwaartelijn MN tevens hoogtelijn.
Hopelijk is dit kort genoeg?

MBL
16-10-2012