WisFaq!

Re: Bewijs

Zou dit wel kunnen?

Stel A = { a ∈ ⁺₀ }, dan is
-A = { a ∈ ^-₀ }

-inf(A) = -1 = sup(-A)

Is dit een voldoende bewijs? Of is het niet voldoende omdat je dit alleen in hebt aangetoond?

Anon
15-10-2012

Antwoord

Je zegt het zelf al: los van de vraag of je een correct bewijs levert, beperk je je zonder enige aanleiding tot de gehele getallen. Daarmee verliest de stelling zijn algemene geldigheid terwijl de stelling duidelijk aangeeft dat A in feite elke deelverzameling van kan zijn.

Ter illustratie eerst maar een simpel voorbeeld.
Neem A = <-2,®> dus alle getallen groter dan -2.
Deze verzameling is duidelijk naar beneden begrensd door -2 (geen getal uit A) en de grootste ondergrens is ook -2.
De verzameling -A = <¬,2>, dus alle getallen kleiner dan 2.
Nu moet je aantonen dat 2 de kleinste bovengrens is van -A.
Stel eens dat dat niet het geval is. Dan is er dus een kleinere 'kleinste bovengrens'. Stel eens dat het 1,9 is.
Dan geldt voor alle getallen uit -A dat ze $\le$1,9 zijn en dús geldt dan voor alle getallen uit A dat ze $\ge$-1,9 zouden zijn.
Maar dat botst met het feit dat -2 de grootste ondergrens van A is, want nu blijken alle getallen $\ge$-1,99 te zijn en dat getal is groter dan -2.

Nu zonder een gekozen voorbeeld.
A is van onder begrensd en heeft een grootste ondergrens M. Dat betekent dat alle getallen a uit A voldoen aan a$\ge$M.
We hadden al gezien dat de verzameling -A naar boven begrensd is door -M.
Je moet nu laten zien dat dit getal -M de kleinste bovengrens is.

Stel eens dat dit getal -M niet de kleinste bovengrens is. Dan is er dus een kleinere. Laten we die N noemen, waarbij dus N<-M (en dús -N>M)
Voor alle getallen -a uit -A geldt dus dat -a$\le$N (omdat N de kleinste bovengrens is van -A).
Maar uit -a$\le$N volgt a$\ge$-N.
Dit laatste kan niet want M was de grootste ondergrens (maar -N>M)

MBL
15-10-2012