WisFaq!

Verschil limiet en linker-en rechterlimiet

hallo,
Zou iemand kunnen uitleggen wanneer een limiet een gewoon limiet is en geen linker-of rechterlimiet?
Ik weet al dat de linker-en rechter dan hetzelfde moeten zijn maar wànneer zijn ze nu precies hetzelfde?

groetjes

Rense Verweerden
3-10-2012

Antwoord

Beste Rense,

Je kan in elk geval teruggrijpen naar de definities van een linkerlimiet, rechterlimiet en de 'gewone' limiet van een functie in een punt. Grafisch is het vrij eenvoudig te volgen zonder dat de technische definities nodig zijn. Schets bijvoorbeeld de grafiek van de functie met voorschrift
$$f(x) = \left\{ \begin{array}{ll}
-1 & \mbox{als}\; x < 0 \\
1 & \mbox{als}\; x \ge 0
\end{array} \right.$$Voor deze functie geldt
$$\lim_{x \to 0^-} f(x) = -1$$en
$$\lim_{x \to 0^+} f(x) = 1$$of in woorden, want misschien ben je andere notaties gewoon:
- de linkerlimiet van $f$ in $x=0$ is -1 (want $f(x) =-1$ voor alle $x<1$),
- de rechterlimiet van $f$ in $x=0$ is 1 (want $f(x) =1$ voor alle $x\ge 1$).

Omdat in dit geval linker- en rechterlimiet verschillen, zeggen we dat de functie geen limiet heeft in $x=0$. 'Dé limiet' bestaat hier niet, linker- en rechterlimiet wél.

Dat is anders bij bijvoorbeeld $g(x) = x+2$: hier is zowel de linker- als de rechterlimiet van $g$ in $x=0$ gelijk aan $2$; we zeggen daarom dat ook 'de limiet' van $g$ in $x=0$ gelijk is aan $2$.

mvg,
Tom

td
3-10-2012