WisFaq!

Complex vlak

De opdracht: teken het complex vlak (1 en i worden aangeduid) en duid er willekeurig een punt (z) op aan. Nu moeten we zonder berekeningen maar puur meetkundig bepalen waar een aantal punten liggen, waaronder 1/z. Ik weet wel ongeveer waar dit ligt maar ik weet niet hoe je hier puur meetkundig aan geraakt...?

Stel z = a + bi
Dan is 1/z = (a + bi)^-1 = r^-1(cosx+isin(-x)) (stel dat je x weet, nl. de hoek tussen de x-as en de rechte tussen de oorsprong en z)
De modulus van 1/z is dus r^-1 met r de modulus van z.

De modulus weten we dus al, maar hoe leid je eigenlijk de hoek af tussen de reële as en de rechte die de oorsprong en het punt 1/z met elkaar verbindt?

Anon
2-10-2012

Antwoord

Dat het argument van 1/z tegengesteld is aan dat van z, had je reeds gevonden. De ligging van 1/z wordt prima voorgedaan op onderstaand adres.

http://nl.wikipedia.org/wiki/Inversie_(meetkunde)
De geel gekleurde cirkel in de tekeningen is voor jou gewoon de cirkel rond de oorsprong met straal 1.

Het woord 'inversie' dat je ziet, geeft de naam aan van de bewerking.
Bestudeerd wordt daarbij het gedrag van de functie f(z) = 1/z, de zogeheten reciproke functie.

MBL
3-10-2012