WisFaq!

Een basis van V

Beste Wisfaq,

Bij de volgende vraag van lineaire algebra kom ik niet verder. Gegeven is v1(1,1,-1,-1) v2(1,-2,3,-2) v3(1,4,-5,0)
V4(1,-2,1,0) en v5(2,-1,0,-1) en zij V= span(v1,v2,v3,v4,v5). Bepaal een deelverzameling bÍ(v1,v2,v3,v4,v5) die een basis van v is. Ik heb zelf bedacht dat alle vectoren lineair onafhankelijk moeten zijn dus a1*v1 +a2*v2+a3*v3....a5*v5= 0
Maar ik weet niet hoe ik nu verder moet.

Groetjes,
Mike

Mike
2-10-2012

Antwoord

Beste Mike,

Je wil deze verzameling van 5 vectoren 'uitdunnen' tot een basis door lineair afhankelijke vectoren te schrappen. Voor een klein aantal vectoren in lage dimensies kan dat soms zonder veel moeite, maar in het algemeen is het handig om hiervoor matrices te gebruiken.

Plaats de vectoren in de kolommen van een matrix en breng de matrix dan naar gereduceerde echelonvorm (of canonieke vorm) door elementaire rijoperaties toe te passen ('vegen'). Deze operaties veranderen namelijk de lineaire verbanden tussen de kolommen niet. Je kan dan eenvoudig aflezen welke kolommen lineair afhankelijk en onafhankelijk zijn.

In jouw geval is de matrix
$$\left( \begin{array}{ccccc}
1 & 1 & 1 & 1 & 2 \\
1 & -2 & 4 & -2 & -1 \\
-1 & 3 & -5 & 1 & 0 \\
-1 & -2 & 0 & 0 &-1
\end{array}\right)$$rij-equivalent met
$$\left( \begin{array}{ccccc}
1 & 0 & 2 & 0 & 1 \\
0 & 1 & -1 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 0 & 1 & 1 \\
0 & 0 & 0 & 0 & 0
\end{array}\right)$$Kan je hieruit afleiden welke kolommen (van de oorspronkelijke matrix!) lineair onafhankelijk zijn en dus welke vectoren $V$ voortbrengen/opspannen?

mvg,
Tom

td
3-10-2012