WisFaq!

Cirkelsegment van 1/3 cirkeloppervlak

ik zou graag in formule vorm willen zien de afstand van het middelpunt van een cirkel loodrecht op de koorde willen weten van een cirkelsegment die 1/3 van een cirkel oppervlak waarbij ik alleen de straal van de cirkel in hoef te vullen

Martin de Jong
11-9-2012

Antwoord

Beste Martin,

Voor een cirkel met straal r is de oppervlakte A van een cirkelsegment waarvan de koorde op een afstand x van het middelpunt ligt, gelijk aan:

A=r^2 \cos^{-1}\!\left(\frac{x}{r}\right)-x\sqrt{r^2-x^2}

De volledige cirkel heeft natuurlijk oppervlakte \pi r^2 dus je zoekt de waarde van x waarvoor de oppervlakte A van het cirkelsegment gelijk is aan \pi r^2/3: precies een derde van de totale oppervlakte. De vergelijking wordt dan:

\frac{1}{3}\pi r^2=r^2 \cos^{-1}\!\left(\frac{x}{r}\right)-x\sqrt{r^2-x^2}

Hierin kan je beide leden delen door r^2 en een beetje herschrijven levert:

\frac{1}{3}\pi= \cos^{-1}\!\left(\frac{x}{r}\right)-\frac{x}{r}\sqrt{1-\left(\frac{x}{r}\right)^2}

Je kan dit zien als een vergelijking in x/r, de verhouding van de gezochte afstand x tot de straal r.
Je kan de vergelijking niet expliciet oplossen naar x of x/r, maar numeriek (of grafisch) oplossen levert x/r = 0.26493208460... waaruit volgt dat:

x \approx 0.265r

Met die formule kan je misschien verder?

mvg,
Tom

Zie Mathworld: Circular Segment [http://mathworld.wolfram.com/CircularSegment.html]

td
12-9-2012