WisFaq!

Vlakken en rechte

Goede dag ,
ik beschik over 2 gegeven vlakken :
a: x+y-z+3=0
b:-x+y+2z-4=0 en een punt A(0,1,-2)
Bepaal nu in een geijkte ruimte een stelsel van vergelijkingen van de rechte door A en evenwijdig met a en b(2 gegeven vlakken).
Ik dacht zo:
Ik neem aan dat aÇb= rechte d want a en b zijn duidelijk snijdend met d als rechte .
De gezochte rechte e//met a en e// met b dus e//d
(e is te zoeken rechte) . Ik bepaal nu een stel richtingsgetallen van aen b
x+y-z+3=0 (1)
-x+y+2z-4=0 (2) samen het stelsel S
ik neem z=1 dan is
(1) x+y+2=0
(2) -x+y-2=0 oplossen geeft 2y=0 of y=0 en x=-2
Co(B)= (-2,0,1)
Met co (A)= (0,-1,2)(gegeven en Co(B) hierboven vind ik dan een
stel richtingsgetallen van d: (-2-0,0-(-1),1-2)=(-2,1,-1)
De rechte e// d is dan gelijk aan:
(x-0)/-2 =(y+1)/1=(z-2)/-1
x/-2=y+1:z-2/-1
Maar ik zie in een bepaalde oplossing voor de rechte e rich. getallen staan (-3,1--2) Kan dat dan door in de vergelijkingen een punt B te zoeken mt een andere z waarde uit het stelsel S??
Graag wat uitleg aub.
Groetjes,
Rik

Rik Lemmens
26-8-2012

Antwoord

Het door jou gevonden punt B ligt inderdaad in de twee gegeven vlakken (vul de coördinaten maar in beide vergelijkingen in).
Vervolgens verbind je de punten A en B, maar daarmee krijg je geen richtingsgetal (wat dat ook mag zijn!) van lijn d. Overigens heb je de tweede en derde coördinaat van de verschilvector onjuist berekend.
Je zult een tweede punt moeten vinden dat in beide vlakken ligt. Keuze genoeg natuurlijk, bijv. C(1,-1,3).
De verbindingsvector BC = c - b = (3,-1,2) is nu een richtvector van lijn d en dús ook van de lijn die je e noemt in je uitwerking.
In vectortaal is dan e gegeven door (x,y,z) = (0,1,-2) + $\lambda$(3,-1,2) waarin de parameter $\lambda$ een reëel getal voorstelt.
De richtvector mag overigens vervangen worden door (-3,1,-2) waarmee je meer in de lijn van het antwoordboekje eindigt.

MBL
27-8-2012