WisFaq!

Som- en verschilformules

Hallo!
Ik zit met een probleem in verband met een bewijs dat ik moet opstellen met behulp van som-en verschilformules.
De opgave is als volgt:
sin²a + sin²b - sin²c = 2ˇsinaˇsinbˇcosc
a, b en c zijn hoeken in een driehoek.
Kan iemand me helpen?
Alvast bedankt,

Hendrik
20-1-2003

Antwoord

Hoi,

Voor het gemak van de notatie neem ik hier x,y en z als hoeken. We hebben x+y+z=p.

sin²(x)+sin²(y)-sin²(z)=
sin²(x)+sin²(y)-sin²(p-x-y)=
sin²(x)+sin²(y)-sin²(x+y)=
sin²(x)+sin²(y)-(sin(x).cos(y)+cos(x).sin(y))²=
sin²(x)+sin²(y)-sin²(x).cos²(y)-2.sin(x).cos(x).sin(y).cos(y)-cos²(x).sin²(y)=
sin²(x).(1-cos²(y))+sin²(y).(1-cos²(x))-2.sin(x).cos(x).sin(y).cos(y)=
sin²(x).sin²(y)+sin²(y).sin²(x)-2.sin(x).cos(x).sin(y).cos(y)=
2.sin²(x).sin²(y)-2.sin(x).cos(x).sin(y).cos(y)=
2.sin(x).sin(y).(sin(x).sin(y)-cos(x).cos(y))=
-2.sin(x).sin(y).cos(x+y)=
2.sin(x).sin(y).cos(p-x-y)=
2.sin(x).sin(y).cos(z)

Groetjes,
Johan

andros
21-1-2003