WisFaq!

Wederkerige hogere macht vergelijking oplossen

Wie kan mij helpen onderstaande vergelijking de wortels voor a, b, c en d oplossen.
De vergelijking heeft geen twee gelijke wortels en één van de wortels is 3.

3x⁵ – 13x⁴ + ax³ + bx² + cx + d = 0

Johan van der Heide
22-6-2012

Antwoord

Voor een uitleg over wederkerige vergelijkingen zie Wederkerige vergelijking .

Stel jouw vergelijking is van soort 1 dan gaat de vergelijking over in
3x⁵-13x⁴+ax³+ax²-13x+3=0
Het valt gemakkelijk in te zien dat x=-1 een oplossing is van deze vergelijking voor iedere a.
invullen van x=3 levert 36a-360=0 op, dus a=10.
Ontbinden in factoren levert (x-3)(x-1)²(x+1)(3x-1) met dubbel nulpunt x=1.
Deze oplossing voldoet niet.

We proberen nu of soort 2 voldoet aan de voorwaarden:
3x⁵-13x⁴+ax³-ax²+13x-3=0
Het valt gemakkelijk in te zien dat x=1 een oplossing is van deze vergelijking voor iedere a.

Invullen van x=3 levert 18a-288=0, dus a=16
Ontbinden in factoren levert (x-3)·(x-1)·(3·x-1)·(x²+1)=0, dus deze oplossing voldoet wel.

hk
24-6-2012