Zelf heb ik geen ervaring met toepassingen van een dekpunt, zeker niet met functies met complexe getallen, maar met enige fantasie kan ik in het algemeen wel toepassingen bedenken.
Allereerst jouw vraag wat het betekent dat een getal op zichzelf wordt afgebeeld. Beschouw hiervoor een functie als een 'machientje': je stopt er iets in (bijvoorbeeld: x=5), en als resultaat komt er iets anders uit (het machientje maakt er bijvoorbeeld van: y=8). Men spreekt van een dekpunt wanneer y 'toevallig' gelijk is aan x.
Voorbeeld: je hebt een winkeltje. Je opbrengst y hangt af van de investeringen x die je doet (inkoop, huur, reclame enz), er is vast een ingewikkelde functie die dit verband beschrijft. Bij het dekpunt is het 'toevallig' zo dat je opbrengst gelijk is aan je investeringen: je stopt er x=5000 Euro in, en als resultaat komt er y=5000 Euro uit. Je ziet gelijk de betekenis van dit dekpunt: het is de grens tussen winst en verlies.
Een geheel ander voorbeeld: in een meer leven vissen die jongen voortbrengen. Het oorspronkelijke aantal vissen noem ik x, het nieuwe aantal vissen noem ik y. y hangt af van x: wanneer er weinig vissen zijn, is er veel voedsel en groeit het aantal vissen (y
x). Wanneer er te veel vissen zijn, is er voedseltekort waardoor veel vissen sterven (y
x). Bij een zeker aantal vissen is er evenwicht, en blijft het aantal vissen constant: y=x.Voor natuurbeheer kan dit dekpunt belangrijk zijn: dit geeft aan welk aantal vissen voor dit meer ideaal is. Ook de aard van het dekpunt is van belang: wanneer er wat te weinig vissen zijn, kan het zijn dat de groei door voedseloverschot zo groot is dat het volgende jaar een flink overschot aan vissen is. Hierdoor ontstaat sterfte, waardoor het aantal nog kleiner wordt dan twee jaar eerder. De situatie is dan instabiel, waardoor de vissen kunnen uitsterven. Het kan ook zijn dat deze uitwijkingen steeds kleiner worden, waardoor het aantal vissen vanzelf naar het dekpunt gaat.
In de economie komen gelijksoortige verschijnselen voor, kijk maar eens bij Wikipedia: varkenscyclus. Om tijdig maatregelen te kunnen nemen, is inzicht in de wiskundige beschrijving erg nuttig.
Een laatste voorbeeld dat ik kan verzinnen, gaat over het ontwerpen van machines: stel, je wilt een machine maken die enveloppen vouwt. Onderdelen van deze machine moeten ingewikkelde bewegingen maken: zo'n onderdeel moet bijvoorbeeld op 4 verschillende posities komen. Deze posities zijn met een wiskundige functie te beschrijven. Een dekpunt van deze functie geeft dan aan dat een plaats na een beweging hetzelfde is als ervoor (net als bij de as van een wiel: na verdraaing heeft elk punt van het wiel een andere plaats, behalve het middelpunt). Kortom: wanneer je op die plaats een asje maakt, kan dit onderdeel de gewenste beweging maken.
Er zijn vast veel meer toepassingen van een dekpunt te verzinnen, het zal vaak ook om ingewikkelde functies gaan. Mocht je hiermee ooit te maken krijgen, dan is het prettig wanneer je hier al eens een beginnetje mee hebt gemaakt.
GHvD
25-6-2012