WisFaq!

Vraag lineaire differentiaalvergelijking van de tweede orde

Halle,
Voor wiskunde D vwo ben ik bezig met een hoofdstuk over complexe getallen gebruiken waar ook differentievergelijkingen aan bod komen. Ik heb de d-toets gemaakt en loop vast bij de laaste vraag (getal en ruimte, wiskunde d vwo, deel 3 hoofdstuk 12)

bij de vraag moet ik de directe formule opstellen van het volgende stelsel differenteivergelijkingen

Xn=3X(n-1) - 5Y(n-1)
Yn=X(n-1) +Y(n-1)
met X0=1 en Y0=2

in het antwoordmodel komt men op een gegeven moment uit op het volgende:
-5Yn =(0,5 +2,25i)(2+2i)^n+1 +(0,5 -2,25i)(2-2i)^n+1 -3(0,5+2,25i)(2+2i)^n -3(0,5-2,25i)(2-2i)^n

hier onder staat:
-5Yn=(0,5+2,25i)(2+2i-3)(2+2i)^n +(0,5-2,25i)(2-2i-3)(2-3i)^n

Ik snap niet wat er nou wordt gedaan.

daarnaast heb ik nog een andere vraag. in het boek staat dat bij de karakteristieke vergelijking g²-ag-b=0 dat je bij
de discriminant kleiner dan 0 je de volgende formule toepast:
Un=(A*cos(hoek*n)+B*sin(hoek*n))*modules^n

maar in het antwoordmodel van de vraag die ik hierboven ook al aangaf wordt gebruik gemaakt van de formule die je gebruiken moet bij D0
mijn tweede vraag is waneer je wel de formule voor complexe getallen moet gebruiken en waneer nou niet.

ik hoop dat u mij zo spoedig mogelijk kan helpen.

alvast bedankt!
Liza

Liza
17-6-2012

Antwoord

Liza,
Dat gaat als volgt:(0,5+2,25i)(2+2i)^n+1-3(0,5+2,25i)(2+2i)^n=
(0,5+2,25i)(2+2i)(2+2i)^n-3(0,5+2,25i)(2+2i)^n=
(0,5+2,25i)(2+2i-3)(2+2i)^n.
Wat betrft je tweede vraag.Als de discriminant D0, treden complexe getallen op. Bij deze opgave is Xn-4 X(n-1)+8X(n-2)=0.Dit geeft g²-4g+8=0.Hiervan is
D=-16,dus complexe wortels.

kn
20-6-2012