WisFaq!

Primitieve van x/(x˛+1)

Hallo,

Ik vraag me af waarom de primitieven x/(x² +1) niet x arctan(x) wordt maar ¹/₂ ln (x² +1)?

Alvast bedankt!

Tessa
17-6-2012

Antwoord

Veronderstel dat de primitieve van x/(x²+1) WEL x×arctan(x) zou zijn, dan zou differentieren van x×arctan(x) weer x/(x²+1) moeten opleveren.
Maar, de afgeleide van x×arctan(x) is (met de productregel):
arctan(x)+x·1/(x²+1)=arctan(x)+x/(x²+1).
Dus dat kan niet kloppen.
Maar als ik ¹/₂ ln (x² +1) differentieer dan krijg ik (met de kettingregel):
1/2·1/(x²+1)·2x=x/(x²+1) en dat klopt wel.

Hoe vind je nu zoiets?
De clou zit hem er hier in dat in x/(x²+1) de afgeleide van de noemer (op een factor 2 na) in de teller staat.
in zo'n geval krijg je als primitieve iets van de vorm getal·ln(noemer)
(in dit geval is getal gelijk aan 1/2.)

hk
17-6-2012