WisFaq!

Partieel integreren

Ik probeer de volgende integraal op te lossen mbv partieel integreren.
f(x) = x²·e^2x
Ik ga x² differentieren en e^2x integreren.

$\int{}$x²·e^2x dx= x²·¹/₂e^2x-$\int{}$2x·e^2x dx
= x²·¹/₂e^2x-2x·¹/₂e^2x +$\int{}$2·e^2x
= x²·¹/₂e^2x-2x·¹/₂e^2x +e^2x +C

Volgens mij zou dit het antwoord moeten zijn maar in mijn dictaat staat:
(e^2x(2x²-2x+1))/4

Ik snap niet goed hoe ze hieraan komen. De basis komt overeen maar waar komt de factor ¹/₄ vandaan?

Ik hoop dat iemand mij kan helpen.

Roel
19-5-2012

Antwoord

Zei er niet iemand dat wiskunde soms gewoon lijkt op het volgen van een recept uit een kookboek? Op 3. Partieel integreren staat zo'n recept:

$
\large\begin{array}{l}
\int {x^2 } \cdot e^{2x} dx = x^2 \cdot \frac{1}{2}e^{2x} - \int {2x \cdot \frac{1}{2}e^{2x} } dx \\
\int {x^2 } \cdot e^{2x} dx = x^2 \cdot \frac{1}{2}e^{2x} - \int {xe^{2x} } dx \\
\end{array}
$

Nog maar een keer:

$
\large\int {xe^{2x} } dx = x \cdot \frac{1}{2}e^{2x} - \int {\frac{1}{2}e^{2x} dx}
$

...en nog een keer....

$
\large\int {\frac{1}{2}e^{2x} dx} = \frac{1}{4}e^{2x}
$

Dus uiteindelijk krijg je:

$
\large\begin{array}{l}
\int {x^2 } \cdot e^{2x} dx = x^2 \cdot \frac{1}{2}e^{2x} - \left( {x \cdot \frac{1}{2}e^{2x} - \frac{1}{4}e^{2x} } \right) \\
\int {x^2 } \cdot e^{2x} dx = x^2 \cdot \frac{1}{2}e^{2x} - x \cdot \frac{1}{2}e^{2x} + \frac{1}{4}e^{2x} \\
\int {x^2 } \cdot e^{2x} dx = \frac{1}{4}e^{2x} \left( {2x^2 - 2x + 1} \right) \\
\end{array}
$

Meer moet het niet zijn, maar ook niet minder. Mooi recept toch?

WvR
19-5-2012