WisFaq!

Oppervlakte berekenen

Goede morgen,
Bereken t.o.v. een orthonormale basis de oppervlakte van het deel van het vlak tussen de kromme met vergelijkiing y=x√(8-x²), de raaklijn in het buigpunt en de vertikaal door het maximum.
Ik rekende als volgt en ga er van uit dat de afgeleiden correct zijn:
y=x√(8-x²)
y'=1·√(8-x²)+x(-2x)/(2√(8-x²))
y'=(8-2x²)/√(8-x²)
8-2x²=0 en x=-2 en x=+2 als nulpunten .Ik vind een maximum voor x=2.Dit is een van de grenzen van de bepaalde integraal.
y'= -4x√(8-x²)-((-2x)(8-x²))/2√(8-x²)
y'= -4x(8-x²)+8x-2x³/(√(8-x²)
y'= (-32x+4x³+8x-2x³)/√(8-x²)
y'=0 voor 2x³-24x=0 en ik vind x=0;x=2√3 en x=-2√3
Buigraaklijn voor x=0 geeft ook y=0 in de gegevven functie en de rico van de buigraaklijn is dan
8/2√2=2√2
(x=0 invullend in y')
De buigraaklijn is dan y-0=2√2(x-0)
y=(2√2) x
De andere nulpunten ±2√3 lijken onbruikbaar om buigraaklijnen te construeren omdat ze een negatieve waarde opleveren onder de √(√(8-x²)=√(8-(+/-2√3))
=√(8-12)√(-4)...Of maak ik hier in de y' een fout.
Ik nam nu de tweede grens x=0 , (eerste nulpunt y'=0.)
Ik berekende dan eerste de onbepaalde integraal:
$\int{}$x√(8-x²)dx
=x=2√2sint en dx: 2√2costdt
OI=$\int{}$2√2sint.(√(8-8sin²t).2√2costdt
OI=(2√2)³$\to\infty$ cos²t.(sint) dt
OI=--16√2(cos³t)/3+C
Ik reken terug en vind dan :
x/2√2=sint en 1-sin²t=1-x²/8 en cos²t= (8-x²)/8
OI= -16√2/3.((8-x²)/8).(√(8-x²)/(2√2)
OI= -1/3(8-x²)·√(8-x²)+C
Invullen van de grenzen levert dan:(met 0 en 2 als grenzen)
-1/3(4.2-8.2√2)
-8/3+16√2/3= 8/3(2√2-1) en dit strookt niet met het antwoordregister...(dat geeft 4/3(2-√2).)
Zijn de grenszen verkeerd of ergens in de berekening van de tweede afgeleide iets fout gelopen?,
Toch een moeilijk geval dat ik trachtte op te lossen.
Graag jullie visie aub..
Groeten en een fijne dag verder .

Rik Lemmens
17-5-2012

Antwoord

Volgens mij vergeet je rekening te houden met de oppervlakte onder de lijn y=2√2·x tussen x=0 en x=2.

hk
17-5-2012