WisFaq!

Pythagoras en cirkels

Beste,

Ik heb wat problemen met volgende vraag:
'De drie cirkels in nevenstaande figuur raken aan elkaar en aan een rechte lijn. De straal van de linker cirkel noemen wij r₁, die van de rechter cirkel noemen wij r₂. De straal van de middelste cirkel is r₃. Dan geldt:

¹/_{$\sqrt{ }$(r3)}=¹/_{$\sqrt{ }$(r1)}+¹/_{$\sqrt{ }$(r2)}

Aanwijzing: AB=2·$\sqrt{ }$(r₁r₂)

Brian
12-5-2012

Antwoord

Hallo Brian,

Ik mis de figuur, maar uit de relaties maak ik op dat het gaat om twee grotere cirkels 1 en 2 die op een horizontale lijn tegen elkaar liggen, een derde kleinere cirkel ligt ingeklemd tussen deze lijn en de twee eerste cirkels. A en B zijn de raakpunten van de grotere cirkels met de lijn.

Teken nu de volgende hulplijnen:

• M₁M₃
  
• M₂M₃
  
• M₁A
  
• M₂B

Teken ook een lijn door M₃, evenwijdig aan de gegeven raaklijn. Het snijpunt van deze lijn met hulplijn M₁A noem ik C, het snijpunt met M₂B noem ik D.

M₁CM₃ is een rechthoekige driehoek. De schuine zijde heeft lengte (r₁+r₃), de zijde M₁C heeft lengte (r₁-r₃), dus met Pythagoras kan je zijde M₃C uitrekenen. Ik vind: M₃C = 2$\sqrt{ }$(r₁r₃), jij ook?

Op dezelfde wijze vind ik bij de andere grote cirkel: M₃D = 2$\sqrt{ }$(r₂r₃)

De afstand CD is gelijk aan AB, dus met de aanwijzing levert dit op:

2$\sqrt{ }$(r₁r₃) + 2$\sqrt{ }$(r₂r₃) = 2$\sqrt{ }$(r₁r₂)

Dit kan je herschrijven tot:

$\sqrt{ }$r₃ ($\sqrt{ }$r₁ + $\sqrt{ }$r₂) = $\sqrt{ }$(r₁r₂)

Kan je dit verder zelf omschrijven tot de gevraagde relatie?

GHvD
12-5-2012