WisFaq!

Zwaartepunt berekenen

Voor het eindexamen vwo moet ik de integraal kunnen gebruiken om het zwaartepunt te berekenen. Nu kan ik hier niks over vinden in mijn wiskunde boek maar wel wat in 'samengevat' en op internet. Maar ik kom twee verschillende soorten formules tegen namelijk:

z = ∫ $\pi$x(f(x))² dx / (∫ $\pi$(f(x))² dx)
z = ∫ x(f(x))dx / (∫ (f(x)) dx)

Maar nou is mijn vraag of er verschil is tussen deze twee formules.
Op het eerste gezicht zou ik zeggen van niet, aangezien zowel boven als onder de deelstreep bij de eerste formule de formule in het kwadraat is genomen en vermenigvuldigd is met $\pi$. Nou vraag ik me af kan je deze wegdelen? Of kan dat niet? (misschien vanwege de integraal die je moet nemen...)
Maar dan alsnog zou ik denken dat er uit de eerste en tweede formule hetzelfde uit zou komen. Want de eerste formule geeft het zwaartepunt (x) op het 'vlak' van de grafiek en de tweede formule geeft het zwaartepunt (x) in het omwentelingslichaam ( vanwege $\pi$(f(x))² ).
Maar aangezien het omwentelingslichaam alleen om de x-as , zou ik zeggen dat het zwaartepunt (x) daardoor niet veranderd.
Ik heb ook al kort geprobeert met een functie of het klopt dat er hetzelfde uit zowel de eerste als de tweede formule kwam, maar dat was niet het geval...

Nu weet ik dus niet of ik een fout heb gemaakt of dat het inderdaad toch twee verschillende formules zijn. Maar dan vraag ik me af wat het verschil is tussen deze twee formules.

Ik hoop dat mijn uitleg van mijn probleem te begrijpen is want ik vond het zelf moeilijk om onder woorden te brengen..

Sare
9-5-2012

Antwoord

Beste Sare,

Terecht merk je op dat je met de formule met het kwadraat het zwaartepunt berekent van een omwentelingslichaam, met de andere formule vind je het zwaartepunt van een platte figuur (in je tekst heb je wel 'eerste formule' en 'tweede formule' verwisseld). De factor $\pi$ mag je wegdelen, het kwadraat niet! Een eenvoudig voorbeeld maakt dit duidelijk:

• 6²/3² is niet gelijk aan 6/3

De formules leveren dus ook niet hetzelfde resultaat op. Ik kan dit met een voorbeeld aannemelijk maken:

Teken een grafiek met y=1 voor x van 0 tot 2, en y=2 voor x van 2 tot 3. Het oppervlak onder deze grafiek bestaat uit twee even grote rechthoeken. Omdat deze rechthoeken even groot zijn, ligt het zwaartepunt van deze vlakke figuur in het midden tussen de deelzwaartepunten van de twee rechthoeken.
Nu gaan we deze figuur wentelen om de x-as. Je krijgt nu twee cilinders, maar de inhoud van de rechter cilinder is 2 keer zo groot als de inhoud van de linker cilinder (ga dit zelf na). Het zwaartepunt van het omwentelingslichaam ligt dus niet midden tussen de deelzwaartepunten van de afzonderlijke cilinders, maar op ²/₃ van deze afstand!

Met de twee formules moet je dit ook kunnen uitrekenen, dat is een goede oefening.

Is hiermee duidelijk wat het verschil is tussen de formules?

GHvD
10-5-2012