WisFaq!

Benaming voor een getal

Beste mede-beantwoorder,
Sinds enige tijd heb ik mij weer verdiept in de getallentheorie. Voornamelijk perfecte getallen vind ik interessant. Ik kwam zelf op een lichte verandering in de definitie: De som van de cijfers van de delers is gelijk aan het getal zelf.
Even voor de duidelijkheid, een deler is dus een getal waarbij na deling door dit getal geen rest over blijft. Een echte deler moet ook nog kleiner zijn dan het getal zelf, maar een (gewone) deler dus niet.
Verder heb ik hier dus 'cijfer' staan en niet de som zelf.
Goed als voorbeeld eerst maar 12. Dit is deelbaar door 1,2,3,4,6 en 12 en geeft dus 1+2+3+4+6+ 1+2 = 19.
Maar 15 geeft: 1,3,5,15 en dus 1+3+5+ 1+5 = 15
Verder heb ik m.b.v. Maple alle getallen tot 100000 gecheckt, maar na 48 is de som steeds te weinig.
Mijn vraag is nu:
1. Weet iemand hoe zo'n getal heet (zoals 15)?
2. Is er een bewijs dat na 48 de som steeds te weinig is?

Alvast hartelijk dank voor elke reactie.

M.v.g.

PHS
18-1-2003

Antwoord

Beste PHS,

Ik denk niet dat deze getallen een officiële naam hebben.

Het zou misschien aardig zijn om de getallen te vinden zoals 48 voor andere talstelsels: 2-tallig, 3-tallig, 4-tallig, enz. Moet met Maple niet zo'n probleem zijn.

Misschien blijkt de rij van deze getallen dan wel in The On-Line Encyclopedia of Integer Sequences te staan. Anders kun je hem daar aanmelden!

Voor het bewijs dat 48 het grootste "som der cijfers perfect getal" is, kun je vermoedelijk gebruik maken van het feit dat de som der cijfers van een getal X altijd kleiner is dan 9[log(X)], waarbij [log(x)] de waarde van log(x) is afgerond op helen naar boven. Best een groffe afschatting, hoor.

Een afschatting voor het aantal delers is aanmerkelijk lastiger. Ik heb er eigenlijk geen fatsoenlijk bruikbare kunnen vinden. Met zo'n afschatting zou je inderdaad kunnen aantonen dat er boven een grenswaarde geen "som der cijfers perfect getal" meer mogelijk is.

Misschien kan onderstaande pagina je verder helpen (Het gaat om s₀(n)). Succes!

Zie Divisor Function - From Mathworld [http://mathworld.wolfram.com/DivisorFunction.html]

FvL
24-1-2003