WisFaq!

Oppervlakte ellipsdelen

Een kwadrant van een cirkel wordt vanuit het middelpunt in twee ongelijke delen verdeeld. Dus de hoeken zijn bijvoorbeeld 27 en 63 graden. Nu wil ik een ellips construeren waarbij het overeenkomstige kwadrant ook wordt verdeeld in 27 en 63 graden maar zodanig dat de oppervlakten van de twee delen gelijk zijn. Hoe bereken ik de excentriciteit van de ellips?

catmite
25-4-2012

Antwoord

Stel dat de vergelijking van die ellips op hoofdassen is
x²/p² + y²/q² = 1, met excentriciteit e = Ö(1-p²/q²).
In poolcoördinaten wordt dat
r² = p²/(1-e²sin²j).

De twee ellipssectoren moeten gelijke oppervlakte hebben, dus
ò₀^3p/20 r²/2 dj = ò_3p/20^p/2 r²/2 dj.

Combineert men de formules hierboven, dan krijgt men
ò₀^3p/20 1/(1-e²sin²j) dj = ò_3p/20^p/2 1/(1-e²sin²j) dj.

Om hiermee e te berekenen kunt u de Weierstrasz substitutie gebruiken:
j = tan(t/2), zodat dj = 2/(1+t²) dt en
sinj = 2t/(1+t²⁾ en cosj = (1-t²)/(1+t²).
Vergeet niet de grenzen aan te passen.

hr
26-4-2012