WisFaq!

Omwentelingslichamen

Beste

Hier mijn vraag: Wanneer we de cirkel wentelen om de x-as ontstaat een bol.
Bepaal nu de inhoud (een formule afhankelijk van a, h en r) van een bolschijf op deze bol bepaald door de loodvlakken op de x-as in de punten A(a , 0) en B (a + h , 0 ) . We noemen h de hoogte van de bolschijf.

weet u de opl?

Gr. Jens

Jens Devacht
17-4-2012

Antwoord

Hallo, Jens.

Ik neem aan dat r de straal van de bol is en de oorsprong het middelpunt en dat deze bol in dunne schijfjes van dikte h wordt gesneden, waarbij men steeds in de richting loodrecht op de x-as snijdt.
Het schijfje met dikte h dat verkregen wordt als de twee snijvlakken door A en B gaan heeft als inhoud ongeveer h keer de oppervlakte van de snijcirkel in het snijvlak door A (omdat die oppervlakte voor dunne schijfjes ongeveer gelijk is aan de oppervlakte van de snijcirkel door B).
Omdat de straal van deze snijcirkel volgens Pythagoras √(r²-a²) is, wordt de inhoud van dit dunne schijfje bij benadering het product
h·$\pi$·(r²-a²).

Ik denk dat dit vraagstuk aan jullie is voorgesteld als voorbereiding op de berekening van de inhoud van de bol door de inhouden van de bolschijfjes met naar 0 naderende dikte h=$\Delta$a (en inhoud $\pi$(r²-a²)$\Delta$a) bij elkaar op te tellen.
Er komt dan $\int{}$_-r^r $\pi$ (r²-a²) da = $\frac{4}{3}\pi$r³.

hr
19-4-2012