WisFaq!

Integreren met cilinder coordinaten

Hallo, ik heb een vraag betreft de volgende opgave.

Oppervlakte S wordt beschreven met drie oppervlaktes namelijk:

Top : z = 4-4x²-3y² (1$\leq$z$\leq$4)
Wand : x²+y² =1 (0$\leq$z$\leq$1)
Bodem : z = 0

het vector veld luidt: F = (yx)i - (0,5y²)j + zk

Bereken $\int{\int{}}$F $\bullet$ NdS van de top

Als ik de wand en de bodem bereken dan moet dit gelijk zijn aan de top aangezien deze makkelijker te berekenen zijn.

Alleen snap ik niet zo snel om hier over te gaan naar cilinder coordinaten en deze te parametriseren.

Groet,

Maurice
10-4-2012

Antwoord

Ik neem aan dat er moet staan 4 -3x² - 3y², anders sluit de top (een stuk paraboloide) niet aan op de wand (een stuk cylinder).
Maak een schets!

Je kunt nu de divergentiestelling gebruiken:

div F = F_x + F_y + F_z = y -y +1 = 1, dus

$\int{\int{}}$ F.N dS = $\int{\int{}}$_top F.N dS + $\int{\int{}}$_wand F.N dS + $\int{\int{}}$_bodem F.N dS = $\int{}\int{}\int{}$ div F dV = inhoud van het door S omsloten lichaam = V

dus $\int{\int{}}$_top F.N dS = V - $\int{\int{}}$_wand F.N dS -$\int{\int{}}$_bodem F.N dS.

De inhoud V kun je vrij eenvoudig uitrekenen (integreer z = 4 -3x² - 3y² over de grondcirkel op de bodem).

Beide dubbelintegralen kun je ook eenvoudig berekenen via de parametriseringen:

cylindervormige wand: (x,y,z) = (cos j, sin j, z) (0$\leq$j$<$2$\pi$, 0$\leq$z$\leq$1).

platte bodem: (x,y,z) = (x,y,0) (..., hier N=(0,0,-1) dus F.N = -z = 0).

hr
12-4-2012