WisFaq!

Re: Integreren met cilinder coordinaten

Hoi Tom,

Ik heb de integraal onder uitgewerkt, Alleen vraag ik me af hoe de grenzen van x van -2 naar 2 lopen en waarom Fals t geschreven wordt , is dit een parametrisatie?

òòò(4-4rsint+2z)rdrdtdz met grenzen (0-3)(0-2p)(0-2)

vermenigvuldigen met r geeft:

4r -4r²sint+2zr integreren over r geeft:

4r²/2 - 4r³/3 sint + 2zr²/2 =
4 -10(1/6)sint + 4z

Integreren over t geeft:

4t + 10(1/6)cost + 4zt =
8p+ 10(1/6) + 8pz

integreren over z geeft:

8pz + 10(1/6)z + 8pz²/2 =
60p + 30,5 = 218,9

Groeten,

Maurice
7-4-2012

Antwoord

Beste Maurice,

Ik gebruikte enkel t omdat dat wat makkelijker schrijft, meer moet je daar dus niet achter zoeken .

Als je x slechts van 0 tot 2 laat lopen en voor al die x-waarden y van van $-\sqrt{4-x^2}$ tot $\sqrt{4−x^2}$, dan beschrijf je maar een halve cirkel in het xy-vlak, namelijk enkel de helft waar x positief is. Nochtans bestaat het integratiegebied in het xy-vlak uit de hele cirkel, want x²+y²4. Schets de cirkel eventueel in het vlak om dat in te zien: x van -2 tot 2 en y...

Bij je eerste stap, integratie naar r, is de primitieve goed maar hoe kom je aan '4 -10(1/6)sint + 4z' als resultaat? Heb je de grenzen voor r gebruikt? Ik vereenvoudig eerst al wat:
$$\left[ {4\frac{{{r^2}}}{2} - 4\frac{{{r^3}}}{3}\sin t + 2z\frac{{{r^2}}}{2}} \right]_{r = 0}^{r = 2} = \left[ {\left( {2 + z} \right){r^2} - \frac{4}{3}\sin t \cdot {r^3}} \right]_{r = 0}^{r = 2}$$en dus
$$\left( {2 + z} \right)\left( {{2^2} - {0^2}} \right) - \frac{4}{3}\sin t\left( {{2^3} - {0^3}} \right) = 4\left( {z + 2} \right) - \frac{{32}}{3}\sin t$$ Dan verder integreren naar t en z.

mvg,
Tom

td
7-4-2012