WisFaq!

Integreren met cilinder coordinaten

Hallo voor de volgende opgave moet ik de de integraal berekenen.

De opgave luidt:

$\int{}\int{}\int{}$(4-4y+2z)dV
0$\leq$z$\geq$3
x²+y² $\leq$4

De uitwerking is als volgt:


Het betreft hier een cilinder dus omschrijven naar cilinder coordinaten geeft:

dV = rdrd$\Phi$dz
x= rcos$\Phi$
y= rsin$\Phi$
z= z

grenswaarden voor z zijn o t/m 3
voor x 0 t/m 2
en voor y $\sqrt{ }$(x-2)

Omschrijven geeft:

z = 0 t/m 3
y = 0 t/m 2$\pi$
x = 0 t/m 2

Uitwerking van de integraal

$\int{}$2z (0-3) dz + $\int{}$-4 cos $\Phi$d$\Phi$ (0-2$\pi$)+ $\int{}$4r (0-2)rdr = 9 + 0 + 8 = 17

klopt dit en mag ik de intergaal zo opstellen

Groet

Maurice
7-4-2012

Antwoord

Beste Maurice,

Een paar foutjes (of slordigheden):
- x niet van 0 tot 2 maar van -2 tot 2,
- voor y niet '$\sqrt{x-2}$' maar van $-\sqrt{4-x^2}$ tot $\sqrt{4-x^2}$

Voor de nieuwe grenzen (gebruik daar niet x en y, dat is verwarrend):
- z inderdaad van 0 tot 3,
- r van 0 tot 2,
- t van 0 tot 2p.

Dat geeft dus de integraal:
$$\int\limits_0^3 {\int\limits_0^{2\pi } {\int\limits_0^2 {\left( {4 - 4r\sin t + 2z} \right)r \,\mbox{d}r} \,\mbox{d}t} \,\mbox{d}z}$$
Lukt het om die integraal uit te rekenen?

mvg,
Tom

td
7-4-2012