WisFaq!

Geadjungeerde matrices

Ik heb een eigenschap van adjuncte matrixen die ik zou moeten kunnen bewijzen maar ik vind nergens het antwoord:

adj (A^t) = (adj (A))^t

In woorden: de adjuncte van de getransponeerde matrix = de getransponeerde van de adjuncte matrix. Ik heb maandag examen wiskunde en ik zou deze eigenschap graag kunnen bewijzen zodat ik ze mag gebruiken op mijn examen (bij ons geldt dat je elke eigenschap die je gebruikt en niet in de klas ziet, je eerst moet bewijzen en dan mag je ze gebruiken). Alvast bedankt.

Jonas
17-3-2012

Antwoord

Beste Jonas,

Als ik het element op plaats (i,j) van de matrix A noteer als $a_{ij}$ en de cofactor van A horend bij die plaats als $A_{ij}$, dan is adj(A) de matrix met $A_{ji}$ als element op plaats (i,j): de adjunctmatrix bestaat immers uit de cofactoren, maar dan getransponeerd.

Voor adj(A^t) kan je dit opnieuw volgen, maar nu is het element van A^t op plaats (i,j) niet $a_{ij}$ maar $a_{ji}$, de cofactor bij dat element is dan ook $A_{ji}$ i.p.v. $A_{ij}$ zodat adj(A^t) op plaats (i,j) niet $A_{ji}$ maar net $A_{ij}$ heeft.

We weten al welk element op plaats (i,j) staat in adj(A), hoe zit het dan met (adj(A))^t?

mvg,
Tom

td
7-4-2012