WisFaq!

Steiner-ellipsen (kleinste en grootste ellips in en om een driehoek) een drieho

Ik zou de twee Steiner-ellipsen analytisch willen bepalen die in en om een gegeven, willekeurige driehoek kunnen worden ingeschreven en omgeschreven. Enkele nuttige artikels hiervoor zijn te vinden onder:
1. Steiner circumellipse
2. Steiner inellipse
3. Marden's theorem
4. The most marvelous theorem in mathematics (by Dan Kalman).
Ze zijn niet eenvoudig, en ik ben vastgelopen. Graag hulp, dank u.

Steven Verhezen
11-3-2012

Antwoord

Hallo, Steven.

Je zou als volgt te werk kunnen gaan;

Gebruik coördinaten zo dat de hoekpunten van de driehoek zijn
A(0,0), B(c,0) en C(b·cos($\alpha$),b·sin($\alpha$)).
Het zwaartepunt is dan G((b·cos($\alpha$)+c)/3,b·sin($\alpha$)/3).

De ellipsen van Steiner gaan na een translatie over de vector van G naar A en een draaiing over zekere hoek j over in een ellips met een vergelijking van de standaardvorm
x²/p² + y²/q² = 1, dus ze hebben zelf een vergelijking van de vorm

(cos(j)(x - (b·cos($\alpha$)+c)/3) - sin(j)(y - b·sin($\alpha$)/3))²/p² + (sin(j)(x - (b·cos($\alpha$)+c)/3) + cos(j)(y - b·sin($\alpha$)/3))²/q² = 1.
(= 'vergelijking @')

Om de omgeschreven ellips van Steiner te vinden moet je gebruiken dat A,B en C op deze ellips liggen.
Dat geeft drie vergelijkingen in de drie onbekenden p,q en j, waarmee je deze drie onbekenden in de gegeven getallen b,c en $\alpha$ kunt uitdrukken.

Om de ingeschreven ellips van Steiner te vinden moet je gebruiken dat de ellips in nader te bepalen punten U(u,0), $\sqrt{ }$(v·cos($\alpha$),v·sin($\alpha$)) en W(c+w·(b·cos($\alpha$)-c),w·b·sin($\alpha$)) raakt aan de zijden van de driehoek, dwz dat de coördinaten van deze punten aan de 'vergelijking @' voldoen en dat de gradiënt van het linkerlid van de 'vergelijking @' in deze drie punten gelijkgericht of tegengesteld gericht is aan de normaalvector op de betreffende zijde.
Dat geeft zes vergelijkingen in de zes onbekenden u,v,w,p,q,j, waardoor je deze kunt uitdrukken in de gegeven getallen b,c en $\alpha$.

Succes ermee. Of ben je er inmiddels zelf al uit?

hr
28-3-2012