WisFaq!

Raaklijnen uit een punt aan de ellips

Gegeven: een ellips met vgl. x²/2+y²= 1 en p(3,3)
Bepaal de vergelijkingen van de raaklijnen uit het punt p aan de ellips e.
Ik heb van van alles geprobeerd, maar ik kom er niet aan.
Alvast bedankt

fatou
11-3-2012

Antwoord

Het hangt er vanaf wat je zoal geleerd hebt over de ellips. Ik geef je wat mogelijkheden.

1.
Neem een willekeurige lijn door (3,3) die (dus?) als vergelijking krijgt
y - 3 = m(x - 3).
Dat deze lijn door (3,3) gaat zie je domweg door x en y door 3 te vervangen. Schrijf dit nu als y = mx + 3 - 3m en ga nu deze lijn met de ellips snijden.
Dat houdt in dat je y vervangt door mx + 3 - 3m.
Omdat je raaklijnen zoekt komt het ten slotte neer op het nulstellen van een discriminant.

2.
Schrijf y = Ö(1 - 0.5x²) en y = -Ö(1 - 0.5x²) voor resp. de bovenhelft en de onderhelft van je ellips.
Nu kun je technieken uit de analyse (algebra) inzetten om het probleem te tackelen. Ik bedoel vooral het inzetten van de afgeleide functie.

3.
De twee raaklijnen leveren uiteraard twee raakpunten op de ellips op. De verbindingslijn heet poollijn en als je deze lijn snijdt met de ellips heb je dús de twee raakpunten te pakken.
Nu is er voor een poollijn van een ellips een heel aardige formule.
Schrijf je ellipsvergelijking eerst eens als ¹/₂xx + yy = 1.

Als het punt vanwaar de raaklijnen getekend worden aangeduid wordt met (a,b), dan is de poollijn in dit geval ¹/₂ax + by = 1
Er is in die vreemde manier om de ellips te schrijven één x vervangen door a en één y door b.
In jouw som is (a,b) = (3,3)

Afijn, keuze genoeg maar jij mag/moet hem maken.
Ten slotte: als ik zelf geen rekenfouten maakte, komt het probleem niet heel erg mooi uit. Dat betekent praktisch dat je secuur zult moeten rekenen.
Veel plezier!

MBL
11-3-2012