WisFaq!

Bewijzen dat een limiet niet naar een bepaalde waarde gaat

Hoi,

ik wil graag bewijzen dat

Lim(x,y)-$>$(0,0) ^x2y/_x⁴+y²≠0 (1)

Dit wil ik doen mbv de negatie van de formele definitie van de limiet:

(1) als er een E$>$0 bestaat voor iedere d$>$0, zodat als (x,y) in dom(f) dan ||(x,y)||$<$d en ||f(x,y}-L||$\geq$E

Er moet dus een E$>$0 grevonden worden zodat voor alle d$>$0 er een (x,y) dichterbij (0,0) is dan d en toch ||^x2y/_x⁴+y²$\geq$E

Ik weet niet echt hoe ik dit aanpak. Ik weet dat de limiet als deze vanuit de richting y=x² komt ¹/₂ is. Is het handig een E te kiezen die tussen 0 en ¹/₂ ligt, bijv 1/4?

Hoe ga ik verder?

Ray
20-2-2012

Antwoord

Beste Ray,

Je vond zelf al dat de functie naar 1/2 gaat voor koppels van de vorm (x,x²). Neem E dus bijvoorbeeld gelijk aan 1/4 en kies (x,y) = (k,k²) voor een zekere k. De afstand tussen f(x,y) en 0 zal dan 1/2 (en dus groter dan 1/4) zijn.

Je moet er enkel voor kunnen zorgen dat je steeds zo'n (k,k²) kan vinden die voldoende dicht bij (0,0) ligt, namelijk dichter dan eender welke d0. Lukt dat? Ga dat zelf na, of kies expliciet een geschikt koppel in functie van d.

Je toont hiermee dat de limiet in elk geval niet 0 kan zijn; is dat wat je wou tonen...?

mvg,
Tom

td
20-2-2012