WisFaq!

Euler en GRM

Goedenavond, kunt U mij helpen?
Opgave: Een voorwerp heeft op t=0 een temperatuur van 100°.
Het voorwerp koelt af in een omgeving met een constante temperatuur van 20°C. Hierbij hoort het dynamisch model dT/dt = -0,02(T-20) met T(0) = 100 en t in seconden.

Oplossing: dT = -0,02(T-20)·dt
T(t+dt) -T(t) = -0,02(T-20)·dt
T(t+dt)= T(t) + 0,02(20-T(t))·dt
neem nu dt=1
en je krijgt T(t+1) = T(t) + 0,02 (20-T(t))
Je kunt dit nu letterlijk op je GRM invoeren:
u(n) = u(n-1) + 0,02(20-u(n-1))
Ik neem u(60) en ik krijg dat de temperatuur na 1
minuut 43,8° is.

Tot zover geen probleem! Nu wil ik dt=0,1 nemen!?

Dan krijg ik T(t+0,1) = T(t) -0,02(20-T(t))·0,1
Als ik nu (t+0,1) vervang door n, dan krijg ik:
u(n) = u(n-0,1) -(20-u(n-0,1))·0,1
Waarom mag ik dan zomaar op mijn GRM intikken:
u(n) = u(n-1) - 0,02(20-u(n-1)) ·0,1???
Als ik hier u(600) doe, dan krijg ik inderdaad weer de
temperatuur na 1 minuut nl. 44,1°C.

Alvast hartelijk dank,
Katrijn

Katrijn
10-2-2012

Antwoord

Het probleem zit hem in het volgende.
Je benadert de temperatuur m.b.v. een rij a(n).
Hierin is n de index van de rij. Deze index is per definitie een geheel getal.
Je kunt deze index niet zomaar vervangen door een temperatuur, zoals je al hebt gezien.
In het geval van dt=0.1 en n=600 stelt de uitkomst de temperatuur voor op t=n·dt=600·0.1=60 seconden, zoals je terecht opmerkt.
(Het verschil in beide waarden zit hem in het het feit dat dit de Euler benadering betreft.)

(Als dit niet voldoende is vraag dan door alsjeblieft)

hk
11-2-2012