WisFaq!

Set differentiaalvergelijkingen

Beste Wisfaq,

Mij is het onderstaande set differentiaalvergelijkingen gegeven.

y₁'(t)/dt = 3·y₁(t) - 2·y₂(t)
y₂'(t)/dt = -y₁(t) + 2·y₂(t)

Gevraagd: Wat zijn de functies y₁(t) en y₂(t) zodat het bovenstaande set vergelijkingen klopt?

Ik heb geen idee hoe ik dit aan moet pakken. Misschien wilt u mij een hint geven?

Alvast bedankt!

ger
3-2-2012

Antwoord

Beste Ger,

Je kan een dergelijk stelsel van twee gekoppelde lineaire differentiaalvergelijkingen van eerste orde herleiden naar een lineaire differentiaalvergelijking van tweede orde door een van beide opnieuw af te leiden en daarbij gebruik te maken van de andere (substitutie).

Misschien even verduidelijken; bepaal bv. nogmaals de afgeleide van de tweede differentiaalvergelijking:

$y_2'' = -y_1'+2y_2' = -(3y_1-2y_2)+2y_2'$

Hierin heb ik $y_1'$ vervangen aan de hand van de eerste differentiaalvergelijking. Om $y_1$ hieruit te elimineren volgt uit de tweede differentiaalvergelijking ook nog dat $y_1 = 2y_2-y_2'$ (*), dus:

$y_2'' = -(3(2y_2-y_2')-2y_2)+2y_2' = -4y_2+5y_2'$

Nu heb je $y_2''-5y_2'+4y_2 = 0$ en dat is een 'brave' homogene, lineaire differentiaalvergelijking van tweede orde. Ik veronderstel dat je die wel kan oplossen? Gebruik (*) om dan ook eenvoudig $y_1$ te vinden.

mvg,
Tom

td
4-2-2012