WisFaq!

Concurrente rechten

Goede dag Mijnheer Blom,
Op een lijnstuk OA nemen we een willekeurig punt B. (OBBA)
We tekenen op de onderkant van lijnstul OA een vierkant OAGH . Op de bovenzijde van dit lijnstuk OA tekenen we 2 vierkanten OBCD en BAEF
(met F op BC gelegen en AB=BF=FE =AE)
M,N en P zijn de middelpunten van de vierkanten OBCD,BAEF en OAGH.
Bewijs nu dat de rechten ON,AM en BP concurrent zijn.

Ik gaf als coördinaten in:
O(O,O);B(x1,0);A(x2,0);E(x2,x2)C(x1,x1);D(O,x1);H(o,-x1) enG(x2,-x2);F(x1,x2)
..
M=(x1/2,x1/2)
N=((x1+x2)/2,x2/2)
P=(x2/2,-x2/2)
Opstellen der rechten :
ON:-x2x+(x1+x2)y=0
AM: x1x-(x1-2x2)y-x1x2=0
BP: -x2x-(x2-2x1)+x1x2=0
(-x2 x1+x2 0 )
(x1 -x1+2x2 -x1x2 )
(-x2 2x1-x2 x1x2 ) =0 (nodig voor concurrentie
En dit haal ik niet.Kom niet op nul uit, (wel ongeveer.....)Waar zit mijn fout nu ?
Ik hoop dat mijn probleem nu wat verstaanbbar is en als ik mij foutief heb uitgedrukt, echt sorry daarvoor.
Groeten,
Rik

Rik Lemmens
31-1-2012

Antwoord

Laten we, om te beginnen, eerst even wat handiger notaties kiezen voor de coördinaten. Al die eentjes en tweetjes achter de letter x is niet erg handig om te lezen.
Met O(0,0), B(b,0), A(a,0), M(¹/₂b,¹/₂b), N(¹/₂a+¹/₂b,¹/₂a-¹/₂b) en P(¹/₂a,-¹/₂a) krijg je de volgende lijnen:
PB: ax + (a-2b)y = ab
AM: -bx + (b-2a)y = -ab
ON: (-a+b)x + (a+b)y = 0

De determinant van de coördinatenmatrix levert inderdaad zonder veel gereken keurig 0 op.

MBL
31-1-2012