WisFaq!

Bepalen van een integraal

Ik zie door de bomen het bos niet meer bij het moeten bepalen van de volgende integraal

$\int{}$(x³+x)$\sqrt{ }$(x²+1)dx

Bouddou
31-1-2012

Antwoord

Allereerst maar 's proberen om de zaak te vereenvoudigen:

$
\int {\left( {x^3 + x} \right)\sqrt {x^2 + 1} } \,dx = \int {x\left( {x^2 + 1} \right)\sqrt {x^2 + 1} } \,dx = \int {x\left( {x^2 + 1} \right)^{1\frac{1}{2}} } dx
$

Nu staat er toch weer iets als f(g(x))·g'(x). De primitieve zal iets worden als:

$
\left( {x^2 + 1} \right)^{2\frac{1}{2}}
$

Differentiëren geeft:

$
2\frac{1}{2}\left( {x^2 + 1} \right)^{1\frac{1}{2}} \cdot 2x = 5x \cdot \left( {x^2 + 1} \right)^{1\frac{1}{2}}
$

Dat is op een factor 5 na helemaal goed...

De primitieve is:

$
F(x) = \frac{1}{5}\left( {x^2 + 1} \right)^{2\frac{1}{2}} + C
$

Zeker weten? Bepaal de afgeleide maar!

WvR
31-1-2012