WisFaq!

Particuliere oplossing nulpunten

Hallo ik had een vraag over de volgende vergelijking:

ÿt+ýt-6yt = -26 sin(2t)-26cos(2t)
(ý is hier de eerste afgeleide)

Wanneer ik de homogene oplossing bepaal krijg ik:

Ae^-2t+Be³t

Voor de particuliere oplossing krijg ik:

y= Acos(t) + Bsin(t)
ý= -Asin(t) + Bcos(t)
ÿ= -Acos(t) -Bsin(t)

in vullen in vergelijking geeft:

-Acos(t) -Bsin(t)-Asin(t) + Bcos(t)-6(Acos(t) + Bsin(t)) + 26 sin(2t) - 26 cos (2t) = 0

vereenvoudigen geeft:
-Acos(t) -Asin(t)+Bcos(t)- 6 (Acost + Bsin(t))+26 sin(2t) - 26 cos (2t) = 0

Nu komt mij vraag, hoe kan ik hier A en B uitdrukken in een getal uit de vergelijking, zodat ik de algemene vergelijking kan oplossen.

Met vriendelijke groet

Maurice
30-1-2012

Antwoord

Beste Maurice,

Je voorstel voor de particuliere oplossing is niet goed; het rechterlid van je differentiaalvergelijking is immers niet van de vorm $A\cos(t)+B\sin(t)$ maar van de vorm $A\cos(2t)+B\sin(2t)$, die factor 2 moet daar staan!

Bepaal dan opnieuw y' en y'' en substitueer in de differentiaalvergelijking. De vergelijking die je dan bekomt moet waar zijn voor alle t. Groepeer alle termen in cos(2t) en in sin(2t) en stel de coëfficiënten ervan gelijk aan de coëfficiënten uit je rechterlid (telkens -26). Dit is een lineair stelsel in de onbekenden A en B.

mvg,
Tom

td
31-1-2012