WisFaq!

Inverse functie

Als je kan bewijzen dat een functie injectief is betekend dit dat ze ook een inverse functie heeft.
h: R³--R³: (x,y,z) |--- ( x³, y, y²-z)

Ik heb kunnen bewijzen dat de functie injectief is want als je
x³=a
y=b
z=-c+b²
Dus neem (a,b,-c+b²) voor (x1,x2,x3) en dan is de functie injectief

Hoe bepaal je de inverse functie van een functies die opgedeeld is in verschillende deelfuncties ?

h: R³--R³: (x,y,z) |--- ( x³, y, y²-z)

liese
15-1-2012

Antwoord

Beste Liese,

De functie moet naast injectief ook surjectief zijn om (bijectief, en dus) inverteerbaar te zijn. Dat is hier wel het geval, dus je kan het voorschrift van de inverse functie zoeken. Je gaf het beeld f(x,y,z) zelf al de naam (a,b,c), dus:

(a,b,c) = (x³,y,y²-z)

Dit is een stelsel dat je kan oplossen naar x, y en z; hieruit lees je dan het voorschrift van de inverse functie af.

$\left\{ \begin{array}{l}
a = {x^3} \\
b = y \\
c = {y^2} - z \\
\end{array} \right.$

Uit de tweede vergelijking lees je onmiddellijk y = b en uit de eerste volgt x = ³Öa. Dan volgt uit de laatste nog z = y²-c dus z = b²-c.

Met andere woorden, de inverse functie beeldt (a,b,c) af op (³Öa,b,b²-c). Uiteraard kan je ook de inverse functie terug noteren met x, y en z:

$h^{-1} : \mathbb{R}^3 \to \mathbb{R}^3 : (x,y,z) \mapsto (\sqrt[3]x,y,y^2-z)$

mvg,
Tom

td
16-1-2012