WisFaq!

Matrix oplossen drie vergelijkingen vier onbekenden

Beste WisFaq,

Tijdens een tentamen vraag kreeg ik de volgende vraag:

2   -1   (a-2)
4   -7     a   = A
1  (a-3)   2

Bereken waarden voor a waarvoor het stelsel A·vectorx=vector 0 ook niet-triviale oplossingen heeft.

Is er een algemene manier om deze som op te lossen, zonder alle var te gokken en dan te controlleren?
Wat ik tevergeefs heb geprobeert....

Vriendelijke groet,

Jaap

Jaap
12-1-2012

Antwoord

Beste Jaap,

Het ligt er een beetje aan welke eigenschappen je hierover al gezien hebt, maar het kan vrij eenvoudig als je (eigenschappen van) determinanten kent.

Een vierkant stelsel (evenveel vergelijkingen als onbekenden) heeft een unieke oplossing als de determinant van de (coëfficiënten)matrix verschilt van 0.
Bovendien weet je dat een homogeen stelsel, dus precies van de gevraagde vorm Ax=0, in elk geval de nulvector als oplossing heeft. Met de vorige eigenschap is dat dus de enige oplossing, als de determinant verschilt van 0. Met andere woorden: opdat er nog andere (niet-triviale) oplossingen zouden zijn, moet de determinant...?

Dat geeft een vrij eenvoudige manier om waarden van a te bepalen; tenzij je determinanten nog niet gezien hebt natuurlijk. Geef in dat geval maar een seintje.

mvg,
Tom

td
12-1-2012