WisFaq!

Re: Re: Directe en recursieve formule

Hallo,
Ik ben nu bezig met de eigenschappen van de fibonaccigetallen.
Wat betekent ån, i=0 iFi? Ik snap het Engels wat op http://en.wikipedia.org/wiki/Fibonacci_number staat (fourth identity) niet zo goed, dus snap ook niet zo goed waar de vierde eigenschap over gaat. En dus ook niet hoe ik hem moet bewijzen.

Rikje
9-1-2012

Antwoord

Het gaat om:

$
\sum\limits_{i = 0}^n {iF_i } = nF_{n + 2} - F_{n + 3} + 2
$

Aan de linker kant staat:

$
\eqalign{
& \sum\limits_{i = 0}^n {iF_i } = 0 \cdot 0 + 1 \cdot 1 + 2 \cdot 1 + 3 \cdot 2 + 4 \cdot 3 + 5 \cdot 5 + 6 \cdot 8 + ... + nF_n \cr
& Voorbeelden: \cr
& \sum\limits_{i = 0}^0 {iF_i } = 0 \cdot 0 = 0 \cr
& \sum\limits_{i = 0}^1 {iF_i } = 0 \cdot 0 + 1 \cdot 1 = 1 \cr
& \sum\limits_{i = 0}^2 {iF_i } = 0 \cdot 0 + 1 \cdot 1 + 2 \cdot 1 = 3 \cr
& \sum\limits_{i = 0}^3 {iF_i } = 0 \cdot 0 + 1 \cdot 1 + 2 \cdot 1 + 3 \cdot 2 = 9 \cr
& \sum\limits_{i = 0}^4 {iF_i } = 0 \cdot 0 + 1 \cdot 1 + 2 \cdot 1 + 3 \cdot 2 + 4 \cdot 3 = 21 \cr
& ... \cr}
$

Aan de rechter kant:

$
\eqalign{
& n = 0:0 \cdot F_2 - F_3 + 2 = - 2 + 2 = 0 \cr
& n = 1:1 \cdot F_3 - F_4 + 2 = 2 - 3 + 2 = 1 \cr
& n = 2:2 \cdot F_4 - F_5 + 2 = 6 - 5 + 2 = 3 \cr
& n = 3:3 \cdot F_5 - F_6 + 2 = 15 - 8 + 2 = 9 \cr
& n = 4:4 \cdot F_6 - F_7 + 2 = 32 - 13 + 2 = 21 \cr
& ... \cr}
$

Dat lijkt te kloppen. Bewijzen doe je met volledige inductie. Probeer dat nog maar even!

WvR
9-1-2012