WisFaq!

Begrensd en extremum

Opgave
Onderstel dat de functie f continu is in en dat de limiet van f(x) voor x gaande naar -∞ en voor x gaande naar +∞ nul is. Toon aan dat f begrensd is op (1) en een extremum bereikt (2).

(1) f continu in = f continu in elk gesloten interval = f begrensd in elk gesloten interval = f begrensd.

(2) Deze tweede probeerde ik op te lossen met afgeleiden, maar ik kan niets zeggen over de afleidbaarheid. Als ik de stelling van Weierstraß wil toepassen is er het probleem dat ik dit enkel kan toepassen op een gesloten interval.

Tom Verniers
29-12-2011

Antwoord

(1) fout argument: de laatste pijl klopt niet want x² is begrensd op elk gesloten begrensd interval maar niet op heel .
Je hebt de gegeven voorwaarde nodig: kies M zó dat |f(x)|1 voor alle x met xM en gebruik dan dat f begrensd is op [-M,M] om een bovengrens voor alle waarden van |f(x)| te bepalen.
(2) Gebruik een wat verfijndere versie van het bovenstaande argument: neem aan dat er een a is met f(a) ongelijk aan nul (als f constant nul is zijn we klaar)
en neem nu M zó dat voor |x|M geldt dat |f(x)||f(a)|/2. Bewijs nu dat het maximum van |f(x)| op [-M,M] ook het maximum van |f(x)| op heel is.

kphart
29-12-2011