WisFaq!

Oplossen van een integraal

Kan de integraal hieronder (in Maple notatie) opgelost worden?

Int(Int((exp(-(u^2+v^2-2*rho*u*v)))/((1+exp(-(u^2+v^2-2*rho*u*v)))^2),u),v);

Ik zie wel dat deze integraal geschreven kan worden als:

Int((exp(-z))/((1+exp(-z))^2),z);

met z = u^2+v^2-2*rho*u*v

Dus misschien kan de substitutie methode toegepast worden.

Ik ben in het bijzonder geintersseerd in de volgende gevallen:

Int(Int((exp(-(u^2+v^2-2*rho*u*v)))/((1+exp(-(u^2+v^2-2*rho*u*v)))^2),u=-infinity..x),v=-infinity..y);

Int(Int(u*v*(exp(-(u^2+v^2-2*rho*u*v)))/((1+exp(-(u^2+v^2-2*rho*u*v)))^2),u=-infinity..infinity),v=-infinity..infinity);

Alvast bedankt.

Ad van der Ven
15-12-2011

Antwoord

De substitutie z=u^2+v^2-2*rho*u*v raakt kant noch wal: van twee variabelen naar één gaat helaas niet zo makkelijk.
Verder heeft een onbepaalde integraal in het geval van meer variabelen geen betekenis.
Blijft over de integraal over het hele vlak.
Herschrijf u^2+v^2-2*rho*u*v = (u-rho*v)^2+(1-rho^2)v^2 en substitueer x=u-rho*v en y=sqrt(1-rho^2)*v als |rho|1 en y=sqrt(rho^2-1)*v als |rho|1.
Als |rho|1 komt er een integraal met -(x^2+y^2) in de e-macht; deze kan met poolcoordinaten aangepakt worden.
Als |rho|1 verschijnt -(x^2-y^2) in de e-macht; in dat geval kan hier door middel van s=x-y en t=x+y nog een integraal met exp(-st) van gemaakt worden maar verder kan ik er niets moois van maken.
In de gevallen rho=1 en rho=-1 staat er hetzij exp(-(u+v)^2) hetzij exp(-(u-v)^2) en dit leidt tot een integraal van de vorm Int(Int(exp(-s^2)/(1+exp(-s^2))^2, s=-infinity..infinity), t=-infinity..infinity) en deze divergeert.

kphart
18-12-2011