WisFaq!

Cirkelvormig gat in driehoek

Goede avond,

UIt een driehoekige plaat moet en cirkelvormig gat gezaagd worden dat 10 cm van elke zijde van de dfriehoek verwijderd is.De zijden van de driehoek zijn 60cm,120cm en 140 cm
Bereken op 0,01 cm² nauwkeurig de oppervalte van de plaat, de oppervakte van de weggesneden cirkel en het restgedeelte van de plaat met het nagelaten gat.
Dit mbt tot de leerstof van sinusregel en cosinusregel.

Ik heb nu een cirkel getekend met 6 cm ,14 cm en 12 cm zijde.Ik heb de bissectrices getekend in deze driehoek en door het snijpubnt der 3 bissectrices een ingeschreven cirkel getekend binnen de gegeven driehoek.
De eerste vraag vond ik met OPP driehoek=3577,71cm²
Daar ik de driehoek op schaal teken mag ik voor de de uitgezaagde cirkel één centimeter van de zijden wegblijven wat eigenlijk met 10 cm realiteit overeenstemt.
De straal van de cirkel die binnen de getekende cirkel(rakend aan de 3 zijden) valt is dan R-10.
Het cenrum van beide concentrische cirkels noem ik O
Hoek C vind ik door rekenen en vind: 25°12'32" en de helft 12°36'16".Ik teken een raaklijn SA aan de uit te zagen cirkel en vind in de driehoek dan de straal als volgt:
S is snijpunt van de raaklijn aan de buitencirkel en de bisectricze door punt A. Punt O is midden en AO is de straal R-10 van de uit te zagen cirkel.IN driehoek OAS vind ik dan( rechthoekig in A en loodrecht op straal= R-10:
Sin 12°36'16"=(R-10)/R
Waaruit R =12,79 na rekenen . Het antwoord geeft 12,36cm

Wat is er mis. Kon ik maar een plaatje maken !!
Groeten
Rik

Rik Lemmens
14-12-2011

Antwoord

Ik doe dit liever zonder sinus en/of cosinusregel.
Gegeven de zijden a,b en c, kun je de oppervlakte van een driehoek als volgt uitrekenen met behulp van de formule van Heron. (Zie formule van Heron):
Noem de halve omtrek s.
Dus s=(a+b+c)/2
Dan is de oppervlakte gelijk aan: √(s·(s-a)·(s-b)·(s-c)).

In jouw geval geldt:
s=(60+120+140)/2=160
Dus de oppervlakte is √(160·(160-60)·(160-120)·(160-140))=√12800000=1600√5=3577,71

Je hebt goed gezien dat de straal van de cirkel die je zoekt 10 minder is dan de straal van de ingeschreven cirkel.

Er bestaat een nette formule voor de straal van de ingeschreven cirkel:

Als O de oppervlakte is en s de halve omtrek, dan is de straal van de ingeschreven cirkel gelijk aan O/s. (Zie ingeschreven cirkel)
Aangezien we O en s al hebben is het nu een fluitje van een cent de straal r van de ingeschreven cirkel uit te rekenen: r=3577,71/160=22,361.
Aangezien we als antwoord r-10 moeten geven krijgen we dus 22,361-10=12,36 (afgerond op twee decimalen).

Ik neem aan dat de rest van de vragen dan geen probleem meer is.

hk
15-12-2011