WisFaq!

Een miljonair met een cirkelvormig perceel

Hallo WisFaq,
Een miljonair had een cirkelvormig perceel met een diameter van 10 kilometer (gemeten over het grondoppervlak). De gehele perceelgrens bestond uit bronzen 5 meter hoge beelden van alle werknemers van zijn bedrijf. Het perceel had geen reliëf.De miljonair zat op zondag altijd precies in het midden van zijn perceel, in een ligstoel, en wilde dan al zijn beelden aan de grens van zijn perceel kunnen zien. Meestal lukte dat ook wel omdat het vaak mooi weer was. Echter door de kromming van de aarde kon hij vanuit zijn ligstoel niet de voeten van de beelden zien.De miljonair was echter een voet-fetisjist en wilde perse de voeten van de bronzen beelden vanuit zijn ligstoel kunnen zien. Hij besloot daarom zijn perceel af te graven zodanig dat de kromming uit het landoppervlak verdween. Het oppervlak zou dan volledig vlak zijn (en het zou dan tevens het kleinst mogelijk oppervlak van zijn perceel zijn) en tenslotte zou hij dan eindelijk ook de voeten van zijn bronzen beelden vanuit het centrum van het perceel kunnen zien.

Hoeveel grond moet hij afgraven?

Aangenomen mag worden dat de aarde ter plekke van het perceel perfect bolvormig is, en dat de straal van de aarde daar 6357000 meter is.Gevraagd wordt de hoeveelheid af te graven grond in kubieke hectometer afgerond op vier cijfers achter de komma.

Angelique Baas
14-1-2003

Antwoord

Hallo Angelique,
Te gek raadsel, de diameter is 10 km, dus dat is een lijn (ab) van 10 km die over een bol loopt. We moeten echter de lengte van het lijnstuk [a,b] kennen om formules te kunnen toepassen. Dit gaat als volgt: (we kunnen nu in twee dimensies werken) we hebben een gelijkbenige driehoek abo (o is het centrum van de aarde) met twee zijden gelijk aan de aardstraal, en de derde zijde ab te bepalen. Op die derde zijde staat dat boogje met lengte 10 km. De omtrek van de volledige cirkel is 2 $\pi$ R, dus 10 km staat tot 2 $\pi$ R zoals de tophoek van de driehoek staat tot 360°, zodat we die tophoek kennen. Dan kunnen we gebruik maken van de cosinusregel in de driehoek abo om de lengte van de zijde ab te bepalen. Daarna moeten we het volume bepalen van dat af te graven stuk bol... Je zou dat met een integraal kunnen doen: bekijk dat volume als elementaire schijfjes, telkens met straal $\pi$ r² (let op: kleine r is variabel). Hierbij is r evenwel afhankelijk van de hoogte, waarbij die hoogte loopt van H tot R. Rest alleen nog 1. de beginhoogte H te bepalen, maar dat is doenbaar want dat is de lengte van de zwaartelijn oc in de driehoek abo van daarnet (kan je b.v. Pythagoras voor gebruiken). En 2. hoe hangt r af van die hoogte? Wel, daarvoor gebruik je ook de stelling van Pythagoras: je hebt een rechthoekige driehoek met zijden R, r, h, zodat je r makkelijk als functie van R en H kan schrijven: r = √(R²-h²).

Voilà, ik hoop dat het juist is en dat je kon volgen, en dat het invullen van de gegeven getallen een zinnig resultaat geeft.

Nog één opmerking: als die miljonair wat krap bij kas zit kan hij beter de aarde zodanig afgraven dat hij een kegel bekomt en zelf op de top gaat zitten: dan moet hij minder afgraven en ziet hij toch nog alle voeten!

Groeten, Christophe.

Christophe
15-1-2003