WisFaq!

Vraagstuk rijen

Een stof heeft en initiële temperatuur van 100 en wordt afgekoeld. Het koelingsproces wordt beschreven door: K(t)=K(t-1)-0,1(K(t-1)-20)
K(t) is temperatuur en t is tijd

Ik zou het recyrsief voorschrift moeten omzetten in een expliciet maar ik weet niet hoe. Kunnen jullie mij helpen?

Louis
10-12-2011

Antwoord

Dag Louis,

Je kan de recursieve vergelijking herschrijven tot:
K(t)=0,9K(t-1)+2 met K(0)=100.
Algemeen: K(t)=a*K(t-1)+b met beginwaarde K(0).
Als je een aantal waarden opschrijft zie je na een tijdje hoe je tot die expliciete formule kan komen:
K(0);
a*K(0)+b;
a²*K(0)+ab+b;
a³*K(0)+a²*b+ab+b;
a⁴*K(0)+a³b+a²b+ab+b);
....
a^t*K(0)+a^t-1b+a^t-2b+...+a²b+ab+b=a^t*K(0)+b(a^t-1+a^t-2+....+a²+a+1)

Missichien herken je hierin de som van een meetkundige rij:
a^t-1+a^t-2+....+a²+a+1 = (1-a^t)/(1-a).
Laat nu zelf zien dat je dit kan herleiden tot:
K(t)=E+(K(0)-E)*a^t, waarbij E=b/(1-a), de evenwichtswaarde.
Succes,
Lieke.

ldr
11-12-2011