WisFaq!

Asymptoten bepalen met een staartdeling

Hallo,
Ik heb problemen met het vinden van de (scheve of horizontale asymptoten)
Kunt u misschien deze 2 functies uitwerken (en eventueel extra uitleg link bij andere voorbeelden mbt asymptoten en staartdeling)
f(x)= ^(x3+1)/_(5x²-3x-8) en f(x)= 1+ ^(2x+4)/_(2x-4)(3x+2)
Hartelijk dank

Diederik Hoppener
5-12-2011

Antwoord

Ten aanzien van de 1e functie:

$
\eqalign{
& 5x^2 - 3x - 8/x^3 + 1\backslash \frac{1}
{5}x \cr
& \,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,x^3 - \frac{3}
{5}x^2 - \frac{8}
{5}x \cr
& \,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\frac{3}
{5}x^2 + \frac{8}
{5}x + 1 \cr
& Dus: \cr
& \frac{{x^3 + 1}}
{{5x^2 - 3x - 8}} = \frac{1}
{5}x + \frac{{\frac{3}
{5}x^2 + \frac{8}
{5}x + 1}}
{{5x^2 - 3x - 8}} \cr
& oftewel: \cr
& \frac{{x^3 + 1}}
{{5x^2 - 3x - 8}} = \frac{1}
{5}x + \frac{{3x^2 + 8x + 5}}
{{25x^2 - 15x - 40}} \cr
& \frac{{x^3 + 1}}
{{5x^2 - 3x - 8}} = \frac{1}
{5}x + \frac{{3 + \frac{8}
{x} + \frac{5}
{{x^2 }}}}
{{25 - \frac{{15}}
{x} - \frac{{40}}
{{x^2 }}}} \cr
& Als\,\,x \to \infty \cr
& \frac{{x^3 + 1}}
{{5x^2 - 3x - 8}} \to \frac{1}
{5}x + \frac{3}
{{25}} \cr}
$

Een schuine asymptoot dus!

Bij de 2e functie kan je snel inzien dat voor x naar oneindig de breuk naar 0 gaat. Een horizontale asymptoot y=1 dus.

Hopelijk is dit wat je zo ongeveer in gedachten had?

WvR
6-12-2011