WisFaq!

Stijgen, dalen en volledige inductie

Gegeven is de rij met algemene term un = Ö2+Ö2+Ö2+Ö.... (dus niet onder apparte wortels maar de eerste is wortel twee en de tweede is wortel twee + onder die wortel nog eens wortel twee. (n wortelvormen)
a) Schrijf een recursief voorschrift op van deze rij.
Ik had hier
2^1/2n
= 2^1/(2^n)
b) bewijs dat deze rij convergeert via volledige inductie.
Dit snap ik niet?
n= 1 Ö2
n= k 2^(1/(2^k))
n= k+1 2^(1/(2^(k+1)))

en dan?
Ik weet dat het een stijgende rij is dus
uk uk+1
dan kom ik 12 uit is dit dan met volledige inductie?

c) bereken de limiet van deze rij.

helowa
29-11-2011

Antwoord

Helowa,
Stel a(n)= de wortel uit n termem.Dan is a²(n+1)=2+a(n). Verder is a(n)groter dan Ö2 , stijgend en kleiner dan 2.Dus lim a(n)=L bestaat, zodat L²=2+L,waaruit volgt dat L=2.Je kunt ook bewijzen met inductie dat
a(n)=2cos(p/2^(n+1)).Alsn=1, is a(1)=2cos ¹/₄p=Ö2.

kn
30-11-2011