WisFaq!

Oppervlakte bepalen van ingeschreven cilinder via R en H van een kegel

Opgave: Beschouw een omwentelingskegel met hoogte H steunen op een cirkelvormig grondvlak met straal R. In de kegel beschouwen we een cilinder die steunt op hetzelfde grondvlak en die reikt tot aan de mantel van de kegel. Bereken de straal van de cilinder zo dat de totale oppervlakte van de cilinder (onder - en bovenvlak inclusief) maximaal is. Merk dus op dat r functie zal zijn van de gegeven R en H. Maak een onderscheid tussen H =$<$ 2R en H $>$ 2R.

Ik versta echt iet hoe ik hier aan moet beginnen.

Alvast bedankt

Stijn Keersebilck
30-10-2011

Antwoord

Hallo Stijn,

Het grondvlak van de kegel is een cirkel met straal R (hoofdletter), het grondvlak van de cilinder is een cirkel met straal r (kleine letter. Zo ook voor de hoogtes: hoogte kegel is H, hoogte cilinder is h.

Teken eerst een verticale doorsnede door de as van de kegel, met daarin de cilinder. De doorsnede van de kegel heeft de vorm van een driehoek: de basis is 2R, de hoogte is H. De doorsnede van de cilinder heeft de vorm van een rechthoek: basis 2r en hoogte H.

Uit deze tekening blijkt door gelijkvormigheid:

^h/_H = ^(R-r)/_R

ofwel:

h = (R-r)×^H/_R

Dit betekent: wanneer je r gekozen hebt, ligt h vast (anders past de cilinder niet in de kegel).

De totale oppervlakte van de cilinder is:

Opp = 2×$\pi$r² + 2$\pi$r×h (onder- en bovenvlak + mantel)

Invullen van de vorige vergelijking in deze vergelijking geeft:

Opp = 2×$\pi$r² + 2$\pi$r×(R-r)×^H/_R

De vraag is nu: voor welke r is deze oppervlakte maximaal? Hiervoor moet je deze functie differentiëren (werk eerst de haakjes weg) en het resultaat gelijk aan nul stellen. Je vindt dan de waarde van r waarbij de oppervlakte maximaal is.

Lukt het zo?

GHvD
30-10-2011