WisFaq!

Afkoelingswet van Newton

Goedenavond, kunt U mij helpen bij het volgende probleem?
Gekookt water(110°) koelt af in een omgevingstemperatuur van 20°. T= temperatuur in °C en t = tijd in minuten
T(0) = 100. na 10 minuten is de temperatuur 60°C.

Ik heb een dynamisch model opgesteld op de bekende manier:
op t=5 geldt dT/dt = -4 en substitutie van (5,80) geeft dan
dT/dt = -0,067(T - 20)
Nu zijn er een paar manieren om aan de bijbehorende formule te komen, maar met verschillende(?) antwoorden....
Dit is dus mijn probleem.

a. via primitiveren krijg ik T = 20 + 78,...e^.-
0,067t..(ik heb dan (10,60) ingevuld)
b. via de algemene oplossing T = 20 + a.e^.ct..
eerst (0,80) invullen: a= 80 en daarna (10,60) invullen
en dan krijg ik T = 20 + 80 e^.-0,067.
c. of oplossingen zijn van de vorm T = 20 + a.e^..-
0,067t.
(10,60) invullen geeft: T = 20+78,.e^.-0,067t

(0,100) invullen geeft: T = 20 + 80 .e^-0,067t...

Kunt U mij die verschillen uitleggen, en wat is dan de goede formule?

Bij voorbaat dank

Katrijn
29-10-2011

Antwoord

Hallo Katrijn,

Ik begrijp niet goed wat de gegevens zijn. Je inleiding lijkt duidelijk:

Temperatuur op tijdstip t=0: 100°
Temperatuur bij t=10 minuten: 60°
Omgevingstemperatuur: 20°

Hiermee is precies één formule af te leiden die voldoet aan de afkoelingswet, dit is jouw methode b:

• T = 20 + 80 e^-0,067t

(bij jou ontbreekt de variabele t, maar ik neem aan dat dit een typfout is).

Maar dan kom je met:
Op t=5 geldt: dT/dt=-4 en T=80. Hoe kom je hieraan? Dit nieuwe gegeven is strijdig met de eerdere gegevens. Wanneer je met behulp van jouw formule b zonder afronden dT/dt berekent, vind je:
dT/dt-3,921... en T56,59...

Kortom: je hebt meer gegevens dan nodig om de formule af te leiden. Door meetfouten of afrondingen kloppen de gegevens niet exact. Verschillende gegevens leveren ook verschillende formules op. De gegevens passen wel 'ongeveer' bij elkaar, dus de formules zijn 'ongeveer' hetzelfde.

Wat is nu de goede formule? Dat hangt ervan af welke gegevens het meest nauwkeurig bekend zijn. Misschien heb je uit een experiment veel meetwaarden verzameld met ongeveer dezelfde nauwkeurigheid. Dan wordt vaak een statistische berekening gedaan om een formule te bepalen die 'het beste' bij alle meetwaarden past.
Wanneer je uit moet gaan van gegevens die je in je vraag hebt genoemd, dan geldt:

• Formule a is het beste wanneer je zeker weet dat bij t=5 geldt: T=80 dT/dt=-4. Dit betekent wel dat de begintemperatuur niet 100° was, maar 98,...
  
• Formule b is het beste wanneer de gegevens uit je inleiding goed kloppen, maar op t=5 geldt dan: dT/dt-3,921... en T56,59...

Duidelijk zo?

GHvD
30-10-2011