WisFaq!

Bewijs: cirkel in perspectief is ellips

Wanneer je een cirkel in perspectief tekent, maar deze tekening 'gewoon' als vlak ziet, is dit een mooie ellips.
Dit wil ik graag algebraisch bewijzen, maar ik vraag me af hoe dit kan.
Kunnen jullie helpen?

Floor
26-10-2011

Antwoord

Hallo, Floor.

Het kan ook een mooie hyperbool of parabool worden of zelfs een lelijk ontaard geval.

Het ligt er verder maar aan wat uw definitie van een ellips is. Ik neem aan dat in de algebraische definitie staat dat de vergelijking op hoofdassen moet zijn van het type
X²/s² + Y²/t² = 1.

In dat geval kun je als volgt te werk gaan:

1) Begin met het oog (0,0,0) en het tafereel
{z=1 $\wedge$ x²+y²=1}.

2) De kegel der projecterende stralen heeft vergelijking
x²+y²=z².

3) Snijd deze kegel met een geschikt vlak z = ax+by+c (het tableau). Er komt x²+y²=(ax+by+c)².

4) Door in het tableau een geschikt orthonormaal assenstelsel te kiezen en over te gaan op bijbehorende coördinaten X en Y, vindt u de vergelijking van het type ellips.

Ik weet echter niet of u de bijbehorende stof gehad hebt.

hr
11-11-2011