WisFaq!

Lengte van kromme C

Beste wisfaq,

Op school heb ik een vraag gekregen, maar ik weet echt niet hoe ik dit vraagstuk moet gaan oplossen.
Zou iemand mij hierbij willen helpen?



De vraagstelling luidt als volgt:

De exponentiële spiraal is de vlakke kromme bepaald door de polaire vergelijking r = e^(theta). De
kromme C is het deel van de spiraal waarvoor geldt 0 $\leq$ theta $\leq$ $\pi$ (het niet gestippelde deel van de
kromme in figuur 1). Bepaal de lengte van C.

Aanwijzing: gebruik voor C de parametrizering r(theta) = (e^theta·cos(theta), e^theta·sin(theta).

Ik heb al heel lang naar deze som gekeken en proberen op te lossen, maar weet echt niet hoe ik het moet aanpakken Hopelijk kan iemand van jullie deze som uitleggen :)

Jess
20-10-2011

Antwoord

Beste Jess,

Wellicht heb je de formule gezien voor de lengte van een kromme met gegeven parametrisatie? Als de kromme gegeven is door (x(t),y(t)) voor t tussen a en b, dan wordt de lengte gegeven door de integraal voor t van a tot b van:

$\sqrt{ }$(x'(t)²+y'(t)²)

Hierin zijn x'(t) en y'(t) de afgeleiden van de componentfuncties x(t) en y(t). Pas deze formule toe met a = 0, b = $\pi$ en de reeds opgegeven parametrisatie van de exponentiële spiraal, namelijk:

x(t) = cos(t).e^t en y(t) = sin(t).e^t

Bepaal dus de afgeleiden, vervolgens de som van de kwadraten en uiteindelijk de vierkantswortel hiervan; dit zou je sterk moeten kunnen vereenvoudigen zodat de integraal gemakkelijk is.

mvg,
Tom

td
20-10-2011