WisFaq!

Bewijzen en aantonen

Via zelfstudie volg ik een vak Lineaire Algebra.
Hier had ik drie vragen over. In de hoop u mij kan helpen:

1. Laat V de vectorruimte zijn van alle reele functies.
Toon aan dat f1; sin (x); sin (2x)g een lineair onafhankelijke verzameling is in V .

2. A en B zijn n  n matrices. Als het stelsel (AB) x = 0 slechts x = 0
als oplossing heeft, dan heeft het stelsel Ax = 0 ook alleen de triviale
oplossing x = 0.

3. Bestaat er een algemene aanpak voor bovenstaande vragen? Dus hoe moet je beginnen met het bewijzen van iets, of iets aantonen.

Hartelijk dank

Joris Binnekade
18-10-2011

Antwoord

1. Gebruik de definitie van `lineair onafhankelijk': neem een lineaire combinatie c₁1+c₂sin(x)+c₃sin(2x) en neem aan dat deze de nulfunctie is; bewijs dan dat c₁=c₂=c₃=0. Dat kan door (drie) geschikte waarden voor x in te vullen.
2. Dit heeft een paar stellingen over vierkante matrices nodig: kennelijk is AB inverteerbaar (want ...) maar dan zijn A en B dat ook (denk aan de formule det(AB)=det(a)det(B)).
3. Begin met de aannamen en probeer naar het resultaat toe te redeneren, met gebruik van dingen die al eerder bewezen zijn; dat klinkt niet concreet maar 1 en 2 laten zien dat verschillende beweringen verschillende redeneringen nodig hebben.

kphart
29-10-2011