WisFaq!

Natuurlijke logaritmen

Wat is de afgeleide van ln(x(t)^alpha naar tijd?

Gegeven is:
Z(t) = X(t)^alpha
Z afgeleid naar tijd gedeeld door Z(t) = de afgeleide van ln(Z(t)) naar tijd.

Ik moet bewijzen dat Z afgeleid naar tijd gedeeld door Z(t) gelijk is aan:
alpha · X(t) afgeleid naar tijd over X(t).

Ik loop halverwege vast, dus ik hoop dat jullie mij kunnen helpen.

Alvast bedankt!

Sas
14-10-2011

Antwoord

$
\eqalign{
& Z(t) = X(t)^\alpha \Rightarrow Z'\left( t \right) = \alpha \cdot X(t)^{\alpha - 1} \cdot X'(t) \cr
& \frac{{Z'\left( t \right)}}
{{Z(t)}} = \frac{{\alpha \cdot X(t)^{\alpha - 1} \cdot X'(t)}}
{{X(t)^\alpha }} = \frac{{\alpha \cdot X'(t)}}
{{X(t)}} \cr
& \left[ {\ln (Z(t))} \right]' = \frac{1}
{{Z(t)}} \cdot Z'(t) = \frac{{Z'\left( t \right)}}
{{Z(t)}} \cr}
$

Hopelijk help dat.

WvR
15-10-2011